Seja W o conjunto das soluções do sistema A X=\overline{0}.
(a) Encontre uma base ortogonal para W.
(b) Encontre os números inteiros d e n que tornam a afirmativa a seguir verdadeira: " W é subespaço de \mathbb{R}^{n} e sua dimensão é d ".
e define W como o conjunto das soluções do sistema homogêneo A X=\overline{0}. As perguntas são:
Encontrar uma base ortogonal para W.
Encontrar números inteiros d e n tais que: " W é subespaço de \mathbb{R}^{n} e sua dimensão é d ".
Informações relevantes extraídas do enunciado: \;A é uma matriz 3\times4. \;W=\{X\in\mathbb{R}^{4}\mid A X=\overline{0}\} (ou seja, o núcleo de A).
Logo W é um subespaço de \mathbb{R}^{4} e precisamos achar uma base ortogonal dele e sua dimensão.]
Passo 2
Vamos resolver o sistema homogêneo A X=\overline{0} por eliminação de Gauss para encontrar uma base (qualquer) de W. Escrevo a matriz ampliada não-necessariamente com zero porque é homogêneo, só preciso encontrar as relações entre as componentes de X=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}.
Verificação rápida: \operatorname{span}\{u_{1},u_{2}\} é o núcleo de A (porque u_{1}=\!3\cdot(-\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},1,0)^{T} e u_{2} é exatamente o outro gerador). Assim \{u_{1},u_{2}\} é uma base (não ortogonal) de W e já vemos que \dim W=2.
Vou agora transformar essa base em uma base ortogonal usando o processo de Gram–Schmidt.]
Passo 4
Explico o método de Gram–Schmidt de forma bem didática: dado um conjunto linearmente independente \{u_{1},u_{2}\} em \mathbb{R}^{n}, obtemos uma base ortogonal \{v_{1},v_{2}\} definindo