Seja
A=\left(\begin{array}{rrr} 3 & 2 & 4 \\\\ 1 & -2 & 3 \\\\ 2 & 3 & 2 \end{array}\right)
(a) Encontre os valores de \operatorname{det}\left(M_{21}\right), \operatorname{det}\left(M_{22}\right) e \operatorname{det}\left(M_{23}\right).
(b) Encontre os valores de A_{21}, A_{22} e A_{23}.
(c) Use suas respostas da parte (b) para calcular \operatorname{det}(A).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\\\ 1 & -2 & 3 \\\\ 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}
e pede três coisas:
(a) os valores de \det\bigl(M_{21}\bigr),\\ \det\bigl(M_{22}\bigr) e \det\bigl(M_{23}\bigr) — aqui M_{2j} é a matriz que se obtém de A eliminando a segunda linha e a coluna j;
(b) os valores de A_{21},A_{22},A_{23} — onde A_{ij} é o cofator associado ao elemento (i,j) (vou definir precisamente abaixo);
(c) usar os cofatores da parte (b) para calcular \det(A) (expansão da determinante pela segunda linha).
Informações úteis extraídas da matriz (para usar na expansão pela segunda linha):
  • elementos da segunda linha: a_{21}=1,\\ a_{22}=-2,\\ a_{23}=3.

Passo 2

Definição e fórmula útil: o menor M_{ij} é a submatriz obtida ao eliminar a linha i e a coluna j de A. A determinante de uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}
é
ad-bc.
Vou aplicar isso para cada M_{2j}.

Passo 3

Calcular \det\bigl(M_{21}\bigr).
Eliminar a segunda linha e a primeira coluna de A dá a matriz 2\times2
M_{21}=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\[4pt] 3 & 2 \end{pmatrix}.
Aplicando a fórmula ad-bc:
\det\bigl(M_{21}\bigr)=2\cdot2 - 4\cdot3 = 4 - 12 = -8.]

Passo 4

Calcular \det\bigl(M_{22}\bigr).
Eliminar a segunda linha e a segunda coluna dá
M_{22}=\begin{pmatrix} 3 & 4 \\[4pt] 2 & 2 \end{pmatrix}.
Logo,
\det\bigl(M_{22}\bigr)=3\cdot2 - 4\cdot2 = 6 - 8 = -2.]

Passo 5

Calcular \det\bigl(M_{23}\bigr).
Eliminar a segunda linha e a terceira coluna dá
M_{23}=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\[4pt] 2 & 3 \end{pmatrix}.
Portanto,
\det\bigl(M_{23}\bigr)=3\cdot3 - 2\cdot2 = 9 - 4 = 5.]

Passo 6

Definição de cofator: o cofator A_{ij} é dado por
A_{ij}=(-1)^{i+j}\det\bigl(M_{ij}\bigr).
Para a segunda linha os sinais (-1)^{2+j} são, para j=1,2,3, respectivamente -1,+1,-1. Vou aplicar isso aos menores que calculei.

Passo 7

Calcular A_{21}:
A_{21}=(-1)^{2+1}\det\bigl(M_{21}\bigr)=(-1)^{3}\cdot(-8) = -1\cdot(-8)=8.

Passo 8

Calcular A_{22}:
A_{22}=(-1)^{2+2}\det\bigl(M_{22}\bigr)=(-1)^{4}\cdot(-2)=1\cdot(-2)=-2.

Passo 9

Calcular A_{23}:
A_{23}=(-1)^{2+3}\det\bigl(M_{23}\bigr)=(-1)^{5}\cdot5=-1\cdot5=-5.

Passo 10

Agora uso a expansão de Laplace pela segunda linha para obter \det(A). A fórmula é
\det(A)=a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+a_{23}A_{23},
onde a_{2j} são os elementos da segunda linha de A. Substituindo a_{21}=1,\\ a_{22}=-2,\\ a_{23}=3 e os cofatores calculados:
\det(A)=1\cdot 8 + (-2)\cdot(-2) + 3\cdot(-5).
Calcule passo a passo:
1\cdot 8 = 8,\qquad (-2)\cdot(-2)=4,\qquad 3\cdot(-5)=-15.
Somando:
8 + 4 - 15 = -3.

Resposta

(a) \det\bigl(M_{21}\bigr)=-8,\\ \det\bigl(M_{22}\bigr)=-2,\\ \det\bigl(M_{23}\bigr)=5
(b) A_{21}=8,\\ A_{22}=-2,\\ A_{23}=-5
(c) \det(A)=-3

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