Seja B_{1}=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right\} a base do \mathbb{R}^{2} e B_{2}=\left\{\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \mathbf{w}_{3}\right\} a base do \mathbb{R}^{3} onde
\mathbf{v}_{1}=(1,1), \quad \mathbf{v}_{2}=(1,2), \quad \mathbf{w}_{1}=(1,1,0), \quad \mathbf{w}_{2}=(0,1,1), \quad \mathbf{w}_{3}=(0,0,1)
Considere a transformação T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} cuja matriz em relação às bases B_{1} e B_{2} é
\left[\begin{array}{rr} 1 & -1 \\\\ 2 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]
Determine T(x, y).
Resolução: De acordo com a definição de matriz de uma transformação linear,
\begin{aligned} & T(1,1)=1(1,1,0)+2(0,1,1)+0(0,0,1)=(1,3,2) \\\ & T(1,2)=-1(1,1,0)+0(0,1,1)+1(0,0,1)=(-1,-1,1) \end{aligned}
Vamos decompor o vetor ( x, y ) na base B_{1}. Para que
(x, y)=a(1,1)+b(1,2)
os coeficientes a e b devem ser solução da equação matricial
\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 1 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} a \\\ b \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} x \\\ y \end{array}\right]
Escalonando a matriz completa
\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & x \\\\ 1 & 2 & y \end{array}\right]
até obter a identidade do lado esquerdo
\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 x-y \\\\ 0 & 1 & y-x \end{array}\right],
chegamos à solução
a=2 x-y, \quad b=y-x
Logo,
(x, y)=(2 x-y)(1,1)+(y-x)(1,2)
Usando a linearidade de T, segue
\begin{aligned} T(x, y) & =(2 x-y) T(1,1)+(y-x) T(1,2) \\\ & =(2 x-y)(1,3,2)+(y-x)(-1,-1,1) . \end{aligned}
Efetuando as contas, chegamos ao resultado desejado
T(x, y)=(3 x-2 y, \quad 7 x-4 y, \quad 3 x-y)

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Vetores da base B_{1}\subset\mathbb{R}^{2}: \mathbf{v}_{1}=(1,1),\qquad \mathbf{v}_{2}=(1,2).
  • Vetores da base B_{2}\subset\mathbb{R}^{3}: \mathbf{w}_{1}=(1,1,0),\qquad \mathbf{w}_{2}=(0,1,1),\qquad \mathbf{w}_{3}=(0,0,1).
  • A matriz de T relativa às bases B_{1} e B_{2} é [T]_{B_{2}\leftarrow B_{1}}= \begin{pmatrix} 1 & -1\\[4pt] 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
O enunciado pede: determinar a fórmula explícita de T(x,y) (o vetor em \mathbb{R}^{3} dado um (x,y)\in\mathbb{R}^{2}).]

Passo 2

Interpretar a matriz dada e calcular T(\mathbf{v}_{1}) e T(\mathbf{v}_{2}).
  • A coluna 1 da matriz são as coordenadas de T(\mathbf{v}_{1}) na base B_{2}. A coluna 1 é \begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]0\end{pmatrix}. Isso significa
    T(\mathbf{v}_{1})=1\mathbf{w}_{1}+2\mathbf{w}_{2}+0\mathbf{w}_{3}.
    Agora substituindo \mathbf{w}_{i}:
    T(\mathbf{v}_{1})=1(1,1,0)+2(0,1,1)+0(0,0,1).
    Somando componente a componente:
    T(\mathbf{v}_{1})=(1,1,0)+(0,2,2)=(1,3,2).
  • A coluna 2 da matriz são as coordenadas de T(\mathbf{v}_{2}) na base B_{2}. A coluna 2 é \begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}. Isso dá
    T(\mathbf{v}_{2})=-1\mathbf{w}_{1}+0\mathbf{w}_{2}+1\mathbf{w}_{3}.
    Substituindo \mathbf{w}_{i}:
    T(\mathbf{v}_{2})=-1(1,1,0)+0(0,1,1)+1(0,0,1).
    Somando:
    T(\mathbf{v}_{2})=(-1,-1,0)+(0,0,1)=(-1,-1,1).
Resumo obtido:
T(\mathbf{v}_{1})=(1,3,2),\qquad T(\mathbf{v}_{2})=(-1,-1,1).]

Passo 3

Expressar um vetor genérico (x,y) como combinação linear dos vetores de B_{1}.
Queremos a,b\in\mathbb{R} tais que
(x,y)=a\mathbf{v}_{1}+b\mathbf{v}_{2}=a(1,1)+b(1,2).
Isso gera o sistema linear (escrito em forma matricial)
\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\[2pt]b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}.
Para resolver, faço eliminação (matriz aumentada):
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & x\\[4pt] 1 & 2 & y \end{array}\right].
Subtraio a linha 1 da linha 2:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & x\\[4pt] 0 & 1 & y-x \end{array}\right].
Agora elimino acima usando a nova linha 2: linha 1 ← linha 1 − linha 2
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 2x-y\\[4pt] 0 & 1 & y-x \end{array}\right].
Portanto
a=2x-y,\qquad b=y-x.
Comentário rápido: a matriz de mudança para a base B_{1} tem determinante \det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&2\end{pmatrix}=1, então é invertível e a solução é única.]

Passo 4

Usar linearidade para obter T(x,y).
Linearidade significa que, se (x,y)=a\mathbf{v}_{1}+b\mathbf{v}_{2}, então
T(x,y)=a\,T(\mathbf{v}_{1})+b\,T(\mathbf{v}_{2}).
Substituindo a, b, T(\mathbf{v}_{1}) e T(\mathbf{v}_{2}):
T(x,y)=(2x-y)\,(1,3,2)+(y-x)\,(-1,-1,1).
Agora faço as multiplicações escalares e a soma componente a componente.
Primeira componente:
(2x-y)\cdot 1+(y-x)\cdot(-1)=2x-y-y+x=3x-2y.
Segunda componente:
(2x-y)\cdot 3+(y-x)\cdot(-1)=6x-3y-y+x=7x-4y.
Terceira componente:
(2x-y)\cdot 2+(y-x)\cdot 1=4x-2y+y-x=3x-y.
Portanto
T(x,y)=(3x-2y,\;7x-4y,\;3x-y).

Passo 5

Verificação rápida (sanity check) para ganhar confiança:
  • Para (x,y)=(1,1)=\mathbf{v}_{1} obtemos
    T(1,1)=(3\cdot1-2\cdot1,\;7\cdot1-4\cdot1,\;3\cdot1-1)=(1,3,2),
    que coincide com T(\mathbf{v}_{1}) calculado antes.
  • Para (x,y)=(1,2)=\mathbf{v}_{2} obtemos
    T(1,2)=(3-4,\;7-8,\;3-2)=(-1,-1,1),
    que coincide com T(\mathbf{v}_{2}).
Esses cheques confirmam que a fórmula está consistente.

Resposta

(3x-2y,\;7x-4y,\;3x-y)

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