Seja B_{1}=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right\} a base do \mathbb{R}^{2} e B_{2}=\left\{\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \mathbf{w}_{3}\right\} a base do \mathbb{R}^{3} onde
Vamos decompor o vetor ( x, y ) na base B_{1}. Para que
(x, y)=a(1,1)+b(1,2)
os coeficientes a e b devem ser solução da equação matricial
\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 1 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} a \\\ b \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} x \\\ y \end{array}\right]
Escalonando a matriz completa
\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & x \\\\ 1 & 2 & y \end{array}\right]
Comentário rápido: a matriz de mudança para a base B_{1} tem determinante \det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&2\end{pmatrix}=1, então é invertível e a solução é única.]
Passo 4
Usar linearidade para obter T(x,y).
Linearidade significa que, se (x,y)=a\mathbf{v}_{1}+b\mathbf{v}_{2}, então
T(x,y)=a\,T(\mathbf{v}_{1})+b\,T(\mathbf{v}_{2}).
Substituindo a, b, T(\mathbf{v}_{1}) e T(\mathbf{v}_{2}):
T(x,y)=(2x-y)\,(1,3,2)+(y-x)\,(-1,-1,1).
Agora faço as multiplicações escalares e a soma componente a componente.
Primeira componente:
(2x-y)\cdot 1+(y-x)\cdot(-1)=2x-y-y+x=3x-2y.
Segunda componente:
(2x-y)\cdot 3+(y-x)\cdot(-1)=6x-3y-y+x=7x-4y.
Terceira componente:
(2x-y)\cdot 2+(y-x)\cdot 1=4x-2y+y-x=3x-y.
Portanto
T(x,y)=(3x-2y,\;7x-4y,\;3x-y).
Passo 5
Verificação rápida (sanity check) para ganhar confiança: