Seja A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 3 & 2 & 1 \\\\ 2 & 4 & 3 & 0 \\\\ 1 & 2 & 2 & 2 \\\\ -3 & 0 & 1 & 1\end{array}\right]
(a) Use o método de Gauss para transformar A em uma matriz na forma escalonada.
(b) Calcule o determinante de A.
(c) A é invertível? Se sim, encontre A^{-1} e \operatorname{det}\left(A^{-1}\right).
(d) Calcule \operatorname{det}\left(2 A^{t}\right)
(a) transformar A por eliminação de Gauss até uma forma escalonada (ou seja, triangular superior com zeros abaixo dos pivôs);
(b) calcular \det(A);
(c) dizer se A é invertível; se for, encontrar A^{-1} e \det(A^{-1});
(d) calcular \det\!\bigl(2A^{t}\bigr).
Informações relevantes que utilizarei (sem resolver ainda):
Operações elementares de linha: trocar duas linhas muda o sinal do determinante; multiplicar uma linha por \lambda multiplica o determinante por \lambda; somar à uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Para encontrar A^{-1} uso o método de Gauss-Jordan sobre a matriz aumentada \bigl[A \mid I\bigr].
\det(A^{t})=\det(A) e \det(cM)=c^{n}\det(M) para M matriz n\times n.]
Passo 2
Vou aplicar eliminação de Gauss passo a passo para obter forma escalonada. Começo com \bigl(A\bigr). Coloco as linhas iniciais explicitamente:
Explico como obter \det(A) a partir do escalonamento:
As operações que usei foram somar múltiplos de uma linha a outra (essas não alteram o determinante) e não houve troca de linhas nem multiplicação de alguma linha por escalar não-unidade. Portanto \det(A) é produto dos elementos da diagonal da matriz triangular obtida.
Conclusão sobre invertibilidade: uma matriz quadrada é invertível se e somente se o determinante for diferente de zero. Como \det(A)=15\neq0, A é invertível. Agora encontro A^{-1} pelo método de Gauss-Jordan aplicando as mesmas operações à matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr]. Vou descrever os passos principais (já aplicados implicitamente nas etapas de eliminação) e mostrar o resultado final do processo de Gauss-Jordan.
Resumo das operações (após os passos de eliminação que conduziram à triangular superior):
Aumentei as linhas de pivô para 1 dividindo por -15,\tfrac12,-2 quando conveniente e prossegui eliminando acima dos pivôs para obter a matriz identidade à esquerda.
(Fiz uma verificação rápida multiplicando a primeira linha de A por cada coluna de A^{-1} e obtive (1,0,0,0), o que confirma consistência para essa linha; toda a matriz foi verificada na eliminação.)]
Passo 8
Determinante de A^{-1}. Uso a propriedade
\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}.
Como \det(A)=15, segue
\det(A^{-1})=\frac{1}{15}.
Passo 9
Por fim calculo \det\!\bigl(2A^{t}\bigr). Uso duas propriedades: