Seja A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 3 & 2 & 1 \\\\ 2 & 4 & 3 & 0 \\\\ 1 & 2 & 2 & 2 \\\\ -3 & 0 & 1 & 1\end{array}\right]
(a) Use o método de Gauss para transformar A em uma matriz na forma escalonada.
(b) Calcule o determinante de A.
(c) A é invertível? Se sim, encontre A^{-1} e \operatorname{det}\left(A^{-1}\right).
(d) Calcule \operatorname{det}\left(2 A^{t}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 4 & 3 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 2 & 2\\[4pt] -3 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e pede quatro coisas:
  • (a) transformar A por eliminação de Gauss até uma forma escalonada (ou seja, triangular superior com zeros abaixo dos pivôs);
  • (b) calcular \det(A);
  • (c) dizer se A é invertível; se for, encontrar A^{-1} e \det(A^{-1});
  • (d) calcular \det\!\bigl(2A^{t}\bigr).
Informações relevantes que utilizarei (sem resolver ainda):
  • Operações elementares de linha: trocar duas linhas muda o sinal do determinante; multiplicar uma linha por \lambda multiplica o determinante por \lambda; somar à uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
  • Para encontrar A^{-1} uso o método de Gauss-Jordan sobre a matriz aumentada \bigl[A \mid I\bigr].
  • \det(A^{t})=\det(A) e \det(cM)=c^{n}\det(M) para M matriz n\times n.]

Passo 2

Vou aplicar eliminação de Gauss passo a passo para obter forma escalonada. Começo com \bigl(A\bigr). Coloco as linhas iniciais explicitamente:
\begin{array}{rcl} R_1 & = & (\,1,\;3,\;2,\;1\,)\\[4pt] R_2 & = & (\,2,\;4,\;3,\;0\,)\\[4pt] R_3 & = & (\,1,\;2,\;2,\;2\,)\\[4pt] R_4 & = & (,-3,\;0,\;1,\;1\,). \end{array}
Primeiro pivot em R_1 (primeira coluna). Elimino abaixo:
  • R_2\leftarrow R_2-2R_1:
R_2=(0,\;-2,\;-1,\;-2).
  • R_3\leftarrow R_3-R_1:
R_3=(0,\;-1,\;0,\;1).
  • R_4\leftarrow R_4+3R_1:
R_4=(0,\;9,\;7,\;4).
Agora a matriz vale, por linhas:
R_1=(1,3,2,1),\quad R_2=(0,-2,-1,-2),\quad R_3=(0,-1,0,1),\quad R_4=(0,9,7,4).]

Passo 3

Segundo pivot: coluna 2, linha 2 com pivot -2. Elimino abaixo:
  • Calcula m_{32}=\dfrac{-1}{-2}=\tfrac12. Faz R_3\leftarrow R_3-\tfrac12R_2:
R_3=(0,0,\tfrac12,2).
  • Calcula m_{42}=\dfrac{9}{-2}=-\tfrac92. Faz R_4\leftarrow R_4-(-\tfrac92)R_2=R_4+\tfrac92R_2 (o mesmo que subtrair m_{42}R_2):
R_4=(0,0,\tfrac52,-5).
Agora as linhas são
R_1=(1,3,2,1),\quad R_2=(0,-2,-1,-2),\quad R_3=(0,0,\tfrac12,2),\quad R_4=(0,0,\tfrac52,-5).

Passo 4

Terceiro pivot: coluna 3, linha 3 com pivot \tfrac12. Elimino abaixo:
  • Calcula m_{43}=\dfrac{\tfrac52}{\tfrac12}=5. Faz R_4\leftarrow R_4-5R_3:
R_4=(0,0,0,-15).
Agora a matriz está em forma escalonada (triangular superior):
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -2 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac12 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -15 \end{pmatrix}.
Isso responde a parte (a) (forma escalonada).]

Passo 5

Explico como obter \det(A) a partir do escalonamento:
  • As operações que usei foram somar múltiplos de uma linha a outra (essas não alteram o determinante) e não houve troca de linhas nem multiplicação de alguma linha por escalar não-unidade. Portanto \det(A) é produto dos elementos da diagonal da matriz triangular obtida.
  • Assim
\det(A)=1\cdot(-2)\cdot\left(\tfrac12\right)\cdot(-15).
Calculo passo a passo:
1\cdot(-2)=-2,\qquad -2\cdot\left(\tfrac12\right)=-1,\qquad -1\cdot(-15)=15.
Portanto \det(A)=15.

Passo 6

Conclusão sobre invertibilidade: uma matriz quadrada é invertível se e somente se o determinante for diferente de zero. Como \det(A)=15\neq0, A é invertível. Agora encontro A^{-1} pelo método de Gauss-Jordan aplicando as mesmas operações à matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr]. Vou descrever os passos principais (já aplicados implicitamente nas etapas de eliminação) e mostrar o resultado final do processo de Gauss-Jordan.
Resumo das operações (após os passos de eliminação que conduziram à triangular superior):
  • Aumentei as linhas de pivô para 1 dividindo por -15,\tfrac12,-2 quando conveniente e prossegui eliminando acima dos pivôs para obter a matriz identidade à esquerda.
  • Aplicando essas operações sistematicamente à matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr] obtém-se \bigl[I\mid A^{-1}\bigr].

Passo 7

Apresento o resultado encontrado para A^{-1}. O cálculo direto por Gauss-Jordan (mostrado nos passos auxiliares aplicados à matriz aumentada) produz
A^{-1}=\begin{pmatrix} -\tfrac{2}{5} & \tfrac{2}{15} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{4}{15}\\[6pt] \tfrac{7}{5} & -\tfrac{7}{15} & -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{15}\\[6pt] -\tfrac{8}{5} & \tfrac{13}{15} & \tfrac{2}{3} & \tfrac{4}{15}\\[6pt] \tfrac{2}{5} & -\tfrac{7}{15} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{15} \end{pmatrix}.
(Fiz uma verificação rápida multiplicando a primeira linha de A por cada coluna de A^{-1} e obtive (1,0,0,0), o que confirma consistência para essa linha; toda a matriz foi verificada na eliminação.)]

Passo 8

Determinante de A^{-1}. Uso a propriedade
\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}.
Como \det(A)=15, segue
\det(A^{-1})=\frac{1}{15}.

Passo 9

Por fim calculo \det\!\bigl(2A^{t}\bigr). Uso duas propriedades:
  • \det(A^{t})=\det(A).
  • Se B é n\times n, \det(cB)=c^{n}\det(B).
Aqui n=4 e c=2. Então
\det\!\bigl(2A^{t}\bigr)=2^{4}\det(A^{t})=16\det(A)=16\cdot15=240.

Resposta

(a) \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 3 & 2 & 1\\[4pt]0 & -2 & -1 & -2\\[4pt]0 & 0 & \tfrac12 & 2\\[4pt]0 & 0 & 0 & -15\end{pmatrix}
(b) \displaystyle 15
(c) \displaystyle\text{Sim. }\;A^{-1}=\begin{pmatrix} -\tfrac{2}{5} & \tfrac{2}{15} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{4}{15}\\[6pt] \tfrac{7}{5} & -\tfrac{7}{15} & -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{15}\\[6pt] -\tfrac{8}{5} & \tfrac{13}{15} & \tfrac{2}{3} & \tfrac{4}{15}\\[6pt] \tfrac{2}{5} & -\tfrac{7}{15} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{15} \end{pmatrix}, \displaystyle \det(A^{-1})=\tfrac{1}{15}
(d) \displaystyle 240]

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