Seja [v]_{C}=\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]. Se [v]_{B}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1\end{array}\right], P_{B \rightarrow A}=\left[\begin{array}{cc}2 & -5 \\\\ -1 & 3\end{array}\right] e P_{C \rightarrow A}=\left[\begin{array}{cc}-2 & -1 \\\\ -1 & -1\end{array}\right] então 2 x+y é:
a) 12
b) 3
c) -11
d) -9
e) -2

Passo 1

O enunciado nos dá as coordenadas de um mesmo vetor v em duas bases e as matrizes de mudança para uma terceira base A. Os dados são:
  • [v]_{C}=\left[\begin{array}{c}x \\[4pt] y\end{array}\right].
  • [v]_{B}=\left[\begin{array}{c}1 \\[4pt] 1\end{array}\right].
  • P_{B\rightarrow A}=\left[\begin{array}{cc}2 & -5 \\[4pt] -1 & 3\end{array}\right].
  • P_{C\rightarrow A}=\left[\begin{array}{cc}-2 & -1 \\[4pt] -1 & -1\end{array}\right].
O que o exercício pede é calcular o valor de 2x+y.]

Passo 2

Entendimento (didático) do que fazer: a matriz P_{B\rightarrow A} transforma coordenadas de v na base B para coordenadas de v na base A. Analogamente, P_{C\rightarrow A} transforma coordenadas de v na base C para coordenadas de v na base A.
Como ambas as expressões representam as coordenadas de um mesmo vetor v na base A, vale a igualdade
P_{B\rightarrow A}\,[v]_{B}=P_{C\rightarrow A}\,[v]_{C}.
Essa igualdade é a que vamos usar para encontrar x e y.

Passo 3

Calcular o lado esquerdo P_{B\rightarrow A}\,[v]_{B}. Multiplicando a matriz por [v]_B:
P_{B\rightarrow A}\,[v]_{B} = \left[\begin{array}{cc}2 & -5 \\[4pt] -1 & 3\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}1 \\[4pt] 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}2\cdot 1 + (-5)\cdot 1 \\[4pt] -1\cdot 1 + 3\cdot 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-3 \\[4pt] 2\end{array}\right].]

Passo 4

Agora escrever a igualdade completa usando o lado direito com incógnitas x,y:
P_{C\rightarrow A}\,[v]_{C} = \left[\begin{array}{cc}-2 & -1 \\[4pt] -1 & -1\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x \\[4pt] y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-3 \\[4pt] 2\end{array}\right].
Isso gera o sistema linear (escrevendo componente a componente):
\begin{cases} -2x - y = -3,\\[4pt] - x - y = 2. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema pelo método da eliminação (subtração de equações). Subtraindo a segunda equação da primeira:
(-2x - y) - (-x - y) = -3 - 2 \quad\Rightarrow\quad -x = -5.
Logo
x = 5.
Substituindo x=5 na segunda equação:
-5 - y = 2 \quad\Rightarrow\quad -y = 7 \quad\Rightarrow\quad y = -7.

Passo 6

Calcular 2x+y com os valores encontrados:
2x+y = 2\cdot 5 + (-7) = 10 - 7 = 3.

Resposta

b) 3

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