Seja
. Determine
de modo que os vetores
e
(
) sejam ortogonais.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em função de
e pede os valores de
para os quais os vetores são ortogonais. Dados fornecidos:
-
. -
.
Pergunta: determinartal que e sejam ortogonais.
Passo 2
Explicação didática do conceito central (produto escalar e ortogonalidade).
- Produto escalar (ou dot product) de dois vetores em
, e , é definido por
Cada termo é o produto das componentes correspondentes e depois somam-se esses produtos.
- Dois vetores são ortogonais (perpendiculares) se, e somente se, o produto escalar entre eles for zero:
Vou aplicar esse procedimento aos vetores dados: calcular
e impor que seja zero.
Passo 3
Calcular o produto escalar
substituindo as componentes:
Esse é o somatório dos três produtos das componentes correspondentes.
Passo 4
Expandir cada termo e simplificar passo a passo.
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Somando tudo:
Agrupando termos semelhantes:
Portanto a condição
vira a equação quadrática
Passo 5
Resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática).
- Para uma equação quadrática geral
, as raízes são
onde
,
e
são os coeficientes da equação.
- Aqui
, , . Calcular o discriminante:
- Aplicando a fórmula:
Esses são os dois valores reais de
que anulam o produto escalar, logo tornam os vetores ortogonais.