Seja m \in \mathbb{R}. Determine m de modo que os vetores \vec{u}=(-1,2+m,-1-m) e \vec{v}= ( m-1, m, 2 ) sejam ortogonais.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em função de m e pede os valores de m para os quais os vetores são ortogonais. Dados fornecidos:
  • \vec{u}=(-1,\,2+m,\,-1-m).
  • \vec{v}=(m-1,\,m,\,2).
    Pergunta: determinar m\in\mathbb{R} tal que \vec{u} e \vec{v} sejam ortogonais.

Passo 2

Explicação didática do conceito central (produto escalar e ortogonalidade).
  • Produto escalar (ou dot product) de dois vetores em \mathbb{R}^3, \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), é definido por
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Cada termo é o produto das componentes correspondentes e depois somam-se esses produtos.
  • Dois vetores são ortogonais (perpendiculares) se, e somente se, o produto escalar entre eles for zero:
\vec{a}\perp\vec{b}\quad\Longleftrightarrow\quad \vec{a}\cdot\vec{b}=0.
Vou aplicar esse procedimento aos vetores dados: calcular \vec{u}\cdot\vec{v} e impor que seja zero.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} substituindo as componentes:
\vec{u}\cdot\vec{v}=(-1)(m-1)+(2+m)\,m+(-1-m)\,2.
Esse é o somatório dos três produtos das componentes correspondentes.

Passo 4

Expandir cada termo e simplificar passo a passo.
  • Primeiro termo:
(-1)(m-1)=-m+1.
  • Segundo termo:
(2+m)m=2m+m^2.
  • Terceiro termo:
(-1-m)2=-2-2m.
Somando tudo:
(-m+1)+(2m+m^2)+(-2-2m).
Agrupando termos semelhantes:
m^2+(-m+2m-2m)+(1-2)=m^2- m -1.
Portanto a condição \vec{u}\cdot\vec{v}=0 vira a equação quadrática
m^2-m-1=0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática \displaystyle m^2-m-1=0 usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática).
  • Para uma equação quadrática geral \displaystyle a x^2+ b x + c =0, as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},
onde a, b e c são os coeficientes da equação.
  • Aqui a=1, b=-1, c=-1. Calcular o discriminante:
\Delta = b^2-4ac = (-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)=1+4=5.
  • Aplicando a fórmula:
m=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{5}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.
Esses são os dois valores reais de m que anulam o produto escalar, logo tornam os vetores ortogonais.

Resposta

\displaystyle m=\frac{1+\sqrt{5}}{2}
\displaystyle m=\frac{1-\sqrt{5}}{2}

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