Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) onde \[f(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}+\alpha x-10}{|x-5|}, & \text { se } x<5 \\\\ 3 x^{2}+\beta x-1, & \text { se } x \geq 5\end{cases}
Obtenha \alpha\] e \(\beta \in \mathbb{R} tais que f seja contínua em \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes e pede os valores de \alpha e \beta em \mathbb{R} tais que f seja contínua em \mathbb{R}. As informações fornecidas são:
  • Para x<5: f(x)=\dfrac{x^{2}+\alpha x-10}{|x-5|}.
  • Para x\ge 5: f(x)=3x^{2}+\beta x-1.
O que a questão pede: encontrar \alpha e \beta tais que f não tenha descontinuidade em nenhum ponto de \mathbb{R}.

Passo 2

Observação sobre continuidade para funções por partes:
  • Polinômios são contínuos em toda parte; portanto a parte 3x^{2}+\beta x-1 é contínua em [5,\infty) e a expressão racional para x<5 é contínua em cada ponto de (-\infty,5) onde o denominador não é zero.
  • O único ponto que pode causar problema é x=5: aí a expressão do ramo x<5 tem denominador |x-5| que tende a zero, e também é onde muda a definição para o segundo ramo. Logo basta forçar continuidade em x=5, o que significa que o limite à esquerda em x=5 deve existir finito e ser igual ao valor do ramo direito em x=5.

Passo 3

Calcular o limite à esquerda \displaystyle\lim_{x\to5^-}\dfrac{x^{2}+\alpha x-10}{|x-5|}.
Para x<5 vale |x-5|=5-x. Então consideramos
\lim_{x\to5^-}\dfrac{x^{2}+\alpha x-10}{5-x}.
Se o numerador não for zero em x=5, isto é se 25+5\alpha-10\neq0, o quociente tende para infinito (ou -\infty), logo não haveria continuidade. Portanto é necessário que o numerador anule em x=5. Impondo isso:
25+5\alpha-10=0.
Resolvendo:
15+5\alpha=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha=-3.

Passo 4

Com \alpha=-3 fatoramos o numerador:
x^{2}-3x-10=(x-5)(x+2).
Para x<5 temos 5-x=-(x-5). Assim, para x<5,
\frac{x^{2}-3x-10}{5-x}=\frac{(x-5)(x+2)}{5-x}=(x+2)\cdot\frac{x-5}{5-x}=(x+2)\cdot(-1)=-(x+2).
Logo o limite à esquerda é
\lim_{x\to5^-}f(x)=\lim_{x\to5^-}\bigl(-(x+2)\bigr)=-(5+2)=-7.

Passo 5

Calcular o valor do ramo direito em x=5 (valor que f toma em x=5, já que o segundo ramo define f em x\ge5):
f(5)=3\cdot5^{2}+\beta\cdot5-1=75+5\beta-1=74+5\beta.
Para continuidade em x=5 precisamos que f(5) seja igual ao limite à esquerda -7. Assim:
74+5\beta=-7.
Resolvendo:
5\beta=-81\quad\Rightarrow\quad \beta=-\tfrac{81}{5}.

Passo 6

Concluímos que escolhendo \alpha=-3 e \beta=-\tfrac{81}{5} a função satisfaz
  • limite à esquerda em x=5 igual a -7,
  • valor em x=5 igual a -7,
    e portanto é contínua em x=5. Como os dois ramos são contínuos em seus domínios separados, isso garante continuidade em toda \mathbb{R}.

Resposta

\alpha=-3
\beta=-\tfrac{81}{5}

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