Seja
Obtenha
tais que
seja contínua em
.
Passo 1
O enunciado dá uma função por partes e pede os valores de
e
em
tais que
seja contínua em
. As informações fornecidas são:
- Para
: . - Para
: .
O que a questão pede: encontrar
e
tais que
não tenha descontinuidade em nenhum ponto de
.
Passo 2
Observação sobre continuidade para funções por partes:
- Polinômios são contínuos em toda parte; portanto a parte
é contínua em e a expressão racional para é contínua em cada ponto de onde o denominador não é zero. - O único ponto que pode causar problema é
: aí a expressão do ramo tem denominador que tende a zero, e também é onde muda a definição para o segundo ramo. Logo basta forçar continuidade em , o que significa que o limite à esquerda em deve existir finito e ser igual ao valor do ramo direito em .
Passo 3
Calcular o limite à esquerda
.
Para
vale
. Então consideramos
Se o numerador não for zero em
, isto é se
, o quociente tende para infinito (ou
), logo não haveria continuidade. Portanto é necessário que o numerador anule em
. Impondo isso:
Resolvendo:
Passo 4
Com
fatoramos o numerador:
Para
temos
. Assim, para
,
Logo o limite à esquerda é
Passo 5
Calcular o valor do ramo direito em
(valor que
toma em
, já que o segundo ramo define
em
):
Para continuidade em
precisamos que
seja igual ao limite à esquerda
. Assim:
Resolvendo:
Passo 6
Concluímos que escolhendo
e
a função satisfaz
- limite à esquerda em
igual a , - valor em
igual a ,
e portanto é contínua em. Como os dois ramos são contínuos em seus domínios separados, isso garante continuidade em toda .