Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) onde \[f(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}+\alpha x+6}{x-3}, & \text { se } x<3 \\\\ 2 \beta+1, & \text { se } x=3 \\\\ 2 x^{2}+3 \gamma x+1, & \text { se } x>3\end{cases}
Obtenha \alpha, \beta\] e \(\gamma \in \mathbb{R} tais que f seja contínua em \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} por partes e pede para obter \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que f seja contínua em \mathbb{R}.
Informações dadas:
  • Para x<3: f(x)=\dfrac{x^{2}+\alpha x+6}{x-3}.
  • Para x=3: f(3)=2\beta+1.
  • Para x>3: f(x)=2x^{2}+3\gamma x+1.
Pergunta que o enunciado faz:
  • Determinar \alpha,\beta,\gamma de modo que f seja contínua para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Relembrando o que significa ser contínua num ponto (aqui preciso ensinar bem): uma função g é contínua em um ponto a se e somente se os três valores abaixo existirem e forem iguais:
\lim_{x\to a^-} g(x),\qquad \lim_{x\to a^+} g(x),\qquad g(a).
Isto significa que o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função no ponto devem coincidir. Se isso ocorrer para todo a\in\mathbb{R}, a função é contínua em \mathbb{R}.
Aplicando ao nosso caso: as três partes da função são expressões que são contínuas nos seus respectivos domínios:
  • Para x<3, a expressão é uma função racional; funções racionais são contínuas onde o denominador não é zero.
  • Para x>3, é um polinômio; polinômios são contínuos em todo \mathbb{R}.
    Portanto, a possível descontinuidade só pode ocorrer no ponto x=3, porque a parte x<3 tem denominador x-3 que anula em x=3, e as definições à esquerda, no ponto e à direita podem não coincidir. Então basta garantir continuidade em x=3.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda \lim_{x\to3^-}\dfrac{x^{2}+\alpha x+6}{x-3}.
Para que esse limite exista e seja finito, o numerador deve ser zero em x=3 (assim o fator x-3 cancela). Ou seja, exige-se
3^{2}+\alpha\cdot 3+6=0.
Vamos resolver:
9+3\alpha+6=0.
15+3\alpha=0.
3\alpha=-15\quad\Rightarrow\quad \alpha=-5.

Passo 4

Com \alpha=-5, fatoramos o numerador para simplificar a expressão e obter o limite. Substituindo,
x^{2}+\alpha x+6 = x^{2}-5x+6.
Fatorando o polinômio:
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
Para x\neq 3 (que é o caso quando calculamos o limite pela esquerda), a fração simplifica:
\frac{x^{2}-5x+6}{x-3}=\frac{(x-2)(x-3)}{x-3}=x-2.
Logo o limite pela esquerda é
\lim_{x\to 3^-}\frac{x^{2}+\alpha x+6}{x-3}=\lim_{x\to 3^-}(x-2)=3-2=1.

Passo 5

Para continuidade em x=3 é necessário que f(3) seja igual ao limite pela esquerda e ao limite pela direita. Já temos o limite pela esquerda igual a 1. Então devemos ter
f(3)=2\beta+1=1.
Resolvendo para \beta:
2\beta+1=1\quad\Rightarrow\quad 2\beta=0\quad\Rightarrow\quad \beta=0.

Passo 6

Calcular o limite pela direita \lim_{x\to3^+}(2x^{2}+3\gamma x+1). Como isso é um polinômio, o limite pela direita é simplesmente a substituição x=3:
\lim_{x\to3^+}(2x^{2}+3\gamma x+1)=2\cdot 3^{2}+3\gamma\cdot 3+1.
Calculemos:
2\cdot 9 +9\gamma +1 =18+9\gamma+1=19+9\gamma.
Para continuidade deve valer
19+9\gamma = f(3).
Mas já determinamos f(3)=1. Logo
19+9\gamma=1.
Resolvendo para \gamma:
9\gamma=1-19=-18\quad\Rightarrow\quad \gamma=-2.

Passo 7

Resumo e verificação final rápida (aqui ensino a checar no tempo de prova): com \alpha=-5 a expressão para x<3 simplifica para x-2 quando x se aproxima de 3, dando limite 1. Com \beta=0 temos f(3)=1. Com \gamma=-2 o polinômio para x>3 avaliado em 3 também dá 1. Portanto os três valores (limite à esquerda, valor no ponto e limite à direita) coincidem em 1, garantindo continuidade em x=3. Como já mencionado, nas outras regiões a função é contínua por ser racional (onde denominador não zera) e polinomial.

Resposta

\alpha=-5
\beta=0
\gamma=-2

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