Seja
Obtenha
tais que
seja contínua em
.
Passo 1
O enunciado define a função
por partes e pede para obter
tais que
seja contínua em
.
Informações dadas:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Pergunta que o enunciado faz:
- Determinar
de modo que seja contínua para todo .
Passo 2
Relembrando o que significa ser contínua num ponto (aqui preciso ensinar bem): uma função
é contínua em um ponto
se e somente se os três valores abaixo existirem e forem iguais:
Isto significa que o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função no ponto devem coincidir. Se isso ocorrer para todo
, a função é contínua em
.
Aplicando ao nosso caso: as três partes da função são expressões que são contínuas nos seus respectivos domínios:
- Para
, a expressão é uma função racional; funções racionais são contínuas onde o denominador não é zero. - Para
, é um polinômio; polinômios são contínuos em todo .
Portanto, a possível descontinuidade só pode ocorrer no ponto, porque a parte tem denominador que anula em , e as definições à esquerda, no ponto e à direita podem não coincidir. Então basta garantir continuidade em .
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda
.
Para que esse limite exista e seja finito, o numerador deve ser zero em
(assim o fator
cancela). Ou seja, exige-se
Vamos resolver:
Passo 4
Com
, fatoramos o numerador para simplificar a expressão e obter o limite. Substituindo,
Fatorando o polinômio:
Para
(que é o caso quando calculamos o limite pela esquerda), a fração simplifica:
Logo o limite pela esquerda é
Passo 5
Para continuidade em
é necessário que
seja igual ao limite pela esquerda e ao limite pela direita. Já temos o limite pela esquerda igual a
. Então devemos ter
Resolvendo para
:
Passo 6
Calcular o limite pela direita
. Como isso é um polinômio, o limite pela direita é simplesmente a substituição
:
Calculemos:
Para continuidade deve valer
Mas já determinamos
. Logo
Resolvendo para
:
Passo 7
Resumo e verificação final rápida (aqui ensino a checar no tempo de prova): com
a expressão para
simplifica para
quando
se aproxima de
, dando limite
. Com
temos
. Com
o polinômio para
avaliado em
também dá
. Portanto os três valores (limite à esquerda, valor no ponto e limite à direita) coincidem em
, garantindo continuidade em
. Como já mencionado, nas outras regiões a função é contínua por ser racional (onde denominador não zera) e polinomial.