Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma transformação linear. Se
T\left(\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 1 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad T\left(\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c} -1 \\\\ 3 \end{array}\right],
determine T\left(\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 1\end{array}\right]\right) e T\left(\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2}\end{array}\right]\right).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 e fornece as imagens dos vetores da base canônica:
T\!\left(\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad T\!\left(\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
O que o problema pede:
  • Determinar T\!\left(\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}\right).
  • Determinar T\!\left(\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}\right) para um vetor genérico \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2.
Informações relevantes dadas:
  • As imagens de \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix} (os vetores da base canônica) foram fornecidas explicitamente.]

Passo 2

Lembrete importante (o que significa ser linear): uma transformação T é linear quando, para quaisquer escalares a,b e vetores u,v,
T(a u + b v)=a\,T(u)+b\,T(v).
Isso significa que conhecendo T nos vetores da base canônica e_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} e e_{2}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} podemos obter T em qualquer vetor da forma x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2} por combinação linear:
T\!\left(x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}\right)=x_{1}T(e_{1})+x_{2}T(e_{2}).]

Passo 3

Escrevendo um vetor genérico em coordenadas da base canônica, temos
\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}=x_{1}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}+x_{2}\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Aplicando T e usando linearidade:
T\!\left(\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}\right) = x_{1}\,T\!\left(\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}\right) + x_{2}\,T\!\left(\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}\right).
Substituindo as imagens fornecidas:
T\!\left(\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}\right) = x_{1}\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} + x_{2}\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora fazemos a soma componente a componente (explicar passo a passo):
  • Componente superior (primeira linha):
\text{1ª componente} = x_{1}\cdot 2 + x_{2}\cdot(-1) = 2x_{1}-x_{2}.ª
  • Componente inferior (segunda linha):
\text{2ª componente} = x_{1}\cdot 1 + x_{2}\cdot 3 = x_{1}+3x_{2}.ª
Portanto, para um vetor genérico:
T\!\left(\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}\right) =\begin{pmatrix}2x_{1}-x_{2}\\[4pt]x_{1}+3x_{2}\end{pmatrix}.
Isso responde a segunda pergunta pedida.]

Passo 5

Agora o caso específico \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}: basta colocar x_{1}=2 e x_{2}=1 na fórmula geral:
T\!\left(\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}\right) =\begin{pmatrix}2\cdot 2 - 1\\[4pt]2 + 3\cdot 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4-1\\[4pt]2+3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\[4pt]5\end{pmatrix}.]

Resposta

T\!\left(\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}3\\[4pt]5\end{pmatrix}
T\!\left(\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}2x_{1}-x_{2}\\[4pt]x_{1}+3x_{2}\end{pmatrix}]

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