Também nos foi dado implicitamente que os coeficientes são reais (já que o espaço é sobre \mathbb{R}). A resolução começa a seguir.]
Passo 2
O que significa estar em \operatorname{ger}(S)? Significa que existe uma combinação linear das três matrizes de S que produz a matriz candidata. Ou seja, devemos verificar se existem escalares x,y,z\in\mathbb{R} tais que
onde \begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} é a matriz que estamos testando. Vou ensinar passo a passo como montar e resolver esse sistema de equações que iguala as entradas correspondentes.]
Passo 3
Calculemos a combinação linear genérica. Multiplicando e somando entradas obtemos:
x\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} +y\begin{pmatrix}-1 & 5 \\[4pt] 5 & 3\end{pmatrix} +z\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - y & x + 5y \\[4pt] x + 5y & 3y + z \end{pmatrix}.
Portanto qualquer matriz no span de S tem a forma
\begin{pmatrix} x - y & x + 5y \\[4pt] x + 5y & 3y + z \end{pmatrix}
para alguns x,y,z\in\mathbb{R}.
Note algo importante já daqui: as entradas off-diagonais (posição (1,2) e (2,1)) são iguais e valem x+5y. Logo toda matriz do span tem necessariamente entradas off-diagonais iguais. Em outras palavras, qualquer matriz no span é simétrica em relação às entradas fora da diagonal principal (ou seja, tem (1,2)=(2,1)). Esse é um critério rápido para eliminar candidatas que não tenham essa propriedade.]
Passo 4
Usemos o critério das entradas off-diagonais para avaliar rapidamente as opções:
Para (a) \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 9 & 3\end{pmatrix}: a entrada (1,2) é 0 e a (2,1) é 9. Como não são iguais, NÃO pode ser escrita na forma acima. Portanto (a) está fora do span.
Para (b) \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 9 & 3\end{pmatrix}: a entrada (1,2)=2 e (2,1)=9. Não são iguais, então (b) NÃO pertence ao span.
Para (c) \begin{pmatrix}-1 & 9 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}: (1,2)=9 e (2,1)=0. Diferentes, logo (c) NÃO pertence ao span.
Para (e) \begin{pmatrix}1 & -9 \\[4pt] 9 & 3\end{pmatrix}: (1,2)=-9 e (2,1)=9. Diferentes, logo (e) NÃO pertence ao span.
Até aqui já eliminamos (a), (b), (c) e (e) por não satisfazerem a condição necessária (1,2)=(2,1). Resta verificar (d), que tem off-diagonais iguais.]
Passo 5
Verificação detalhada de (d). A matriz (d) é
\begin{pmatrix}1 & 9 \\[4pt] 9 & 3\end{pmatrix}.
Queremos x,y,z\) tais que
\[\begin{pmatrix} x - y & x + 5y \\[4pt] x + 5y & 3y + z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 9 \\[4pt] 9 & 3\end{pmatrix}.
Igualando entradas obtém-se o sistema de 3 equações:
\begin{cases} x - y = 1,\\[4pt] x + 5y = 9,\\[4pt] 3y + z = 3. \end{cases}
Vamos resolver passo a passo. Da primeira equação temos
Portanto existem coeficientes reais x=\tfrac{7}{3}\], \(y=\tfrac{4}{3}, z=-1 que produzem exatamente a matriz (d). Conclusão: (d) pertence ao span de S.]
Passo 6
Resumo interpretativo (um empurrãozinho final): a razão pela qual quatro opções foram eliminadas com rapidez é que o conjunto S só gera matrizes cujas entradas off-diagonais são iguais (observar a forma x+5y). Isso é uma restrição estrutural do subespaço gerado. Apenas a opção (d) respeita essa estrutura e, além disso, admite soluções explícitas para os coeficientes.
Força aí — é ótimo quando a álgebra dá uma condição simples (como igualdade das entradas off-diagonais) que já elimina várias alternativas rapidamente. No vestibular/prova, identificar esse tipo de padrão salva tempo.