Seja M(\mathbb{R})_{2 \times 2} o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2 sobre \mathbb{R}. Considere o subespaço vetorial de M(\mathbb{R})_{2 \times 2} gerado por S=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}-1 & 5 \\\\ 5 & 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]\right\}. É correto afirmar que:
a \left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 9 & 3\end{array}\right] \in \operatorname{ger}(S).
[b] \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 9 & 3\end{array}\right] \in \operatorname{ger}(S).
c \left[\begin{array}{cc}-1 & 9 \\\\ 0 & 3\end{array}\right] \in \operatorname{ger}(S).
[d] \left[\begin{array}{ll}1 & 9 \\\\ 9 & 3\end{array}\right] \in \operatorname{ger}(S).
e \left[\begin{array}{cc}1 & -9 \\\\ 9 & 3\end{array}\right] \in \operatorname{ger}(S).

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial M(\mathbb{R})_{2\times2} e o subespaço gerado por
S=\left\{\,\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}-1 & 5 \\[4pt] 5 & 3\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\,\right\}.
Pergunta-se para cada uma das matrizes abaixo se ela pertence a \operatorname{ger}(S) (ou seja, ao span de S):
a) \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 9 & 3\end{pmatrix}
b) \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 9 & 3\end{pmatrix}
c) \begin{pmatrix}-1 & 9 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}
d) \begin{pmatrix}1 & 9 \\[4pt] 9 & 3\end{pmatrix}
e) \begin{pmatrix}1 & -9 \\[4pt] 9 & 3\end{pmatrix}.
Também nos foi dado implicitamente que os coeficientes são reais (já que o espaço é sobre \mathbb{R}). A resolução começa a seguir.]

Passo 2

O que significa estar em \operatorname{ger}(S)? Significa que existe uma combinação linear das três matrizes de S que produz a matriz candidata. Ou seja, devemos verificar se existem escalares x,y,z\in\mathbb{R} tais que
x\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} +y\begin{pmatrix}-1 & 5 \\[4pt] 5 & 3\end{pmatrix} +z\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
onde \begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} é a matriz que estamos testando. Vou ensinar passo a passo como montar e resolver esse sistema de equações que iguala as entradas correspondentes.]

Passo 3

Calculemos a combinação linear genérica. Multiplicando e somando entradas obtemos:
x\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} +y\begin{pmatrix}-1 & 5 \\[4pt] 5 & 3\end{pmatrix} +z\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - y & x + 5y \\[4pt] x + 5y & 3y + z \end{pmatrix}.
Portanto qualquer matriz no span de S tem a forma
\begin{pmatrix} x - y & x + 5y \\[4pt] x + 5y & 3y + z \end{pmatrix}
para alguns x,y,z\in\mathbb{R}.
Note algo importante já daqui: as entradas off-diagonais (posição (1,2) e (2,1)) são iguais e valem x+5y. Logo toda matriz do span tem necessariamente entradas off-diagonais iguais. Em outras palavras, qualquer matriz no span é simétrica em relação às entradas fora da diagonal principal (ou seja, tem (1,2)=(2,1)). Esse é um critério rápido para eliminar candidatas que não tenham essa propriedade.]

Passo 4

Usemos o critério das entradas off-diagonais para avaliar rapidamente as opções:
  • Para (a) \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 9 & 3\end{pmatrix}: a entrada (1,2) é 0 e a (2,1) é 9. Como não são iguais, NÃO pode ser escrita na forma acima. Portanto (a) está fora do span.
  • Para (b) \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 9 & 3\end{pmatrix}: a entrada (1,2)=2 e (2,1)=9. Não são iguais, então (b) NÃO pertence ao span.
  • Para (c) \begin{pmatrix}-1 & 9 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}: (1,2)=9 e (2,1)=0. Diferentes, logo (c) NÃO pertence ao span.
  • Para (e) \begin{pmatrix}1 & -9 \\[4pt] 9 & 3\end{pmatrix}: (1,2)=-9 e (2,1)=9. Diferentes, logo (e) NÃO pertence ao span.
Até aqui já eliminamos (a), (b), (c) e (e) por não satisfazerem a condição necessária (1,2)=(2,1). Resta verificar (d), que tem off-diagonais iguais.]

Passo 5

Verificação detalhada de (d). A matriz (d) é
\begin{pmatrix}1 & 9 \\[4pt] 9 & 3\end{pmatrix}.
Queremos x,y,z\) tais que \[\begin{pmatrix} x - y & x + 5y \\[4pt] x + 5y & 3y + z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 9 \\[4pt] 9 & 3\end{pmatrix}.
Igualando entradas obtém-se o sistema de 3 equações:
\begin{cases} x - y = 1,\\[4pt] x + 5y = 9,\\[4pt] 3y + z = 3. \end{cases}
Vamos resolver passo a passo. Da primeira equação temos
x = 1 + y.
Substituindo na segunda:
(1+y) + 5y = 9 \quad\Rightarrow\quad 1 + 6y = 9 \quad\Rightarrow\quad 6y = 8 \quad\Rightarrow\quad y = \tfrac{4}{3}.
Então
x = 1 + \tfrac{4}{3} = \tfrac{7}{3}.
Da terceira equação:
z = 3 - 3y = 3 - 3\cdot\tfrac{4}{3} = 3 - 4 = -1.
Portanto existem coeficientes reais x=\tfrac{7}{3}\], \(y=\tfrac{4}{3}, z=-1 que produzem exatamente a matriz (d). Conclusão: (d) pertence ao span de S.]

Passo 6

Resumo interpretativo (um empurrãozinho final): a razão pela qual quatro opções foram eliminadas com rapidez é que o conjunto S só gera matrizes cujas entradas off-diagonais são iguais (observar a forma x+5y). Isso é uma restrição estrutural do subespaço gerado. Apenas a opção (d) respeita essa estrutura e, além disso, admite soluções explícitas para os coeficientes.
Força aí — é ótimo quando a álgebra dá uma condição simples (como igualdade das entradas off-diagonais) que já elimina várias alternativas rapidamente. No vestibular/prova, identificar esse tipo de padrão salva tempo.

Resposta

a) Não
b) Não
c) Não
d) Sim
e) Não

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