Seja \mathbf{r}(t)=\left(e^{t} \cos t, e^{t} \sin t, e^{t}\right).
a) Mostre que \|\mathbf{r}(t)\|=e^{t} \sqrt{2}.
b) Calcule \mathbf{r}^{\prime}(t) e \left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\|.
c) Determine o ângulo entre \mathbf{r}(t) e \mathbf{r}^{\prime}(t). Esse ângulo depende de t ?
d) Calcule \mathbf{r}^{\prime}(t) \times \mathbf{r}^{\prime \prime}(t) e interprete geometricamente.
Passo 1
O enunciado dá a curva \mathbf{r}(t)=\big(e^{t}\cos t,\;e^{t}\sin t,\;e^{t}\big) e pede quatro coisas:
(a) mostrar que \|\mathbf{r}(t)\|=e^{t}\sqrt{2};
(b) calcular \mathbf{r}'(t) e \|\mathbf{r}'(t)\|;
(c) determinar o ângulo entre \mathbf{r}(t) e \mathbf{r}'(t) e verificar se depende de t;
(d) calcular \mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t) e interpretar geometricamente.
Informações úteis já visíveis no enunciado:
As componentes de \mathbf{r}(t) são x(t)=e^{t}\cos t, y(t)=e^{t}\sin t, z(t)=e^{t}.
Vou usar as definições padrão:
Norma de um vetor \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3): \|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}.
Interpretação geométrica (explicando devagar): o produto vetorial \mathbf{r}'\times\mathbf{r}'' é um vetor ortogonal a ambos \mathbf{r}' (velocidade) e \mathbf{r}'' (aceleração); portanto aponta na direção do binormal ao plano osculador da curva naquele ponto. Se esse vetor é diferente do vetor nulo, significa que \mathbf{r}' e \mathbf{r}'' são linearmente independentes e a curva não é uma reta naquele ponto.
Posso também dar a magnitude, que às vezes é útil para relacionar com a curvatura:
Isso mostra que a curvatura decresce como e^{-t}. Mas o ponto principal pedido era que o produto vetorial fornece a direção binormal (normal ao plano gerado por velocidade e aceleração) e o seu módulo está dado acima.
(c) \displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt{6}}{3}, \displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right). O ângulo é constante (não depende de t).
(d) \displaystyle \mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)=e^{2t}\big(\sin t-\cos t,\;-(\cos t+\sin t),\;2\big). Geometricamente é um vetor ortogonal a \mathbf{r}' e \mathbf{r}'' (direção binormal do plano osculador); \|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|=e^{2t}\sqrt{6} e a curvatura é \displaystyle \kappa=\frac{\sqrt{2}}{3e^{t}}.