Seja \mathbf{r}(t)=\left(e^{t} \cos t, e^{t} \sin t, e^{t}\right).
a) Mostre que \|\mathbf{r}(t)\|=e^{t} \sqrt{2}.
b) Calcule \mathbf{r}^{\prime}(t) e \left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\|.
c) Determine o ângulo entre \mathbf{r}(t) e \mathbf{r}^{\prime}(t). Esse ângulo depende de t ?
d) Calcule \mathbf{r}^{\prime}(t) \times \mathbf{r}^{\prime \prime}(t) e interprete geometricamente.

Passo 1

O enunciado dá a curva \mathbf{r}(t)=\big(e^{t}\cos t,\;e^{t}\sin t,\;e^{t}\big) e pede quatro coisas:
  • (a) mostrar que \|\mathbf{r}(t)\|=e^{t}\sqrt{2};
  • (b) calcular \mathbf{r}'(t) e \|\mathbf{r}'(t)\|;
  • (c) determinar o ângulo entre \mathbf{r}(t) e \mathbf{r}'(t) e verificar se depende de t;
  • (d) calcular \mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t) e interpretar geometricamente.
Informações úteis já visíveis no enunciado:
  • As componentes de \mathbf{r}(t) são x(t)=e^{t}\cos t, y(t)=e^{t}\sin t, z(t)=e^{t}.
  • Vou usar as definições padrão:
    • Norma de um vetor \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3): \|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}.
    • Produto escalar: \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
    • Ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}: \cos\theta=\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}.
    • Regra do produto para derivadas: \dfrac{d}{dt}\big(e^{t}f(t)\big)=e^{t}f(t)+e^{t}f'(t)=e^{t}\big(f(t)+f'(t)\big).
A partir daqui eu calculo passo a passo.

Passo 2

(a) Calcular \|\mathbf{r}(t)\|.
Definição: \|\mathbf{r}(t)\|=\sqrt{\big(e^{t}\cos t\big)^{2}+\big(e^{t}\sin t\big)^{2}+\big(e^{t}\big)^{2}}.
Agora desenvolvo cada termo e fatoro e^{2t}:
\|\mathbf{r}(t)\| = \sqrt{e^{2t}\cos^{2}t + e^{2t}\sin^{2}t + e^{2t}} = \sqrt{e^{2t}\big(\cos^{2}t+\sin^{2}t+1\big)}.
Usando a identidade trigonométrica \cos^{2}t+\sin^{2}t=1, obtemos
\|\mathbf{r}(t)\| = \sqrt{e^{2t}\cdot 2} = e^{t}\sqrt{2}.
Portanto a parte (a) está mostrada.

Passo 3

(b) Calcular \mathbf{r}'(t) e \|\mathbf{r}'(t)\|.
Vou derivar componente a componente aplicando a regra do produto e a derivada de e^{t}.
Primeira componente:
\frac{d}{dt}\big(e^{t}\cos t\big) = e^{t}\cos t + e^{t}(-\sin t) = e^{t}(\cos t - \sin t).
Segunda componente:
\frac{d}{dt}\big(e^{t}\sin t\big) = e^{t}\sin t + e^{t}\cos t = e^{t}(\sin t + \cos t).
Terceira componente:
\frac{d}{dt}\big(e^{t}\big)=e^{t}.
Logo
\mathbf{r}'(t)=\big(e^{t}(\cos t-\sin t),\;e^{t}(\sin t+\cos t),\;e^{t}\big).
Agora a norma. Usando \|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{\text{(soma dos quadrados das componentes)}},
\|\mathbf{r}'(t)\| = \sqrt{e^{2t}(\cos t-\sin t)^{2} + e^{2t}(\sin t+\cos t)^{2} + e^{2t}}.
Fatorando e^{2t}:
\|\mathbf{r}'(t)\| = e^{t}\sqrt{(\cos t-\sin t)^{2}+(\sin t+\cos t)^{2}+1}.
Agora simplifico o que está dentro da raiz. Calculo as somas:
(\cos t-\sin t)^{2}+(\sin t+\cos t)^{2} = (\cos^{2}t -2\sin t\cos t +\sin^{2}t) + (\sin^{2}t +2\sin t\cos t +\cos^{2}t) = 2\cos^{2}t + 2\sin^{2}t = 2.
Portanto o conteúdo da raiz é 2+1=3, e
\|\mathbf{r}'(t)\| = e^{t}\sqrt{3}.

Passo 4

(c) Determinar o ângulo entre \mathbf{r}(t) e \mathbf{r}'(t). Verificar se depende de t.
Primeiro calculo o produto escalar \mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t):
\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t) = e^{t}\cos t\cdot e^{t}(\cos t-\sin t) + e^{t}\sin t\cdot e^{t}(\sin t+\cos t) + e^{t}\cdot e^{t}.
Fatorando e^{2t} e simplificando os termos:
\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t) = e^{2t}\big(\cos(\cos-\sin)+\sin(\sin+\cos)+1\big).
Expandindo dentro dos parênteses:
\cos^{2}t -\cos t\sin t + \sin^{2}t + \sin t\cos t + 1 = (\cos^{2}t+\sin^{2}t)+1 = 1+1=2.
Logo
\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t) = 2e^{2t}.
Agora uso a fórmula do cosseno do ângulo:
\cos\theta = \frac{\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}(t)\|\,\|\mathbf{r}'(t)\|} = \frac{2e^{2t}}{\big(e^{t}\sqrt{2}\big)\big(e^{t}\sqrt{3}\big)}.
Cancelando e^{2t} e simplificando:
\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}.
Isto é uma constante (não depende de t). Portanto o ângulo é constante ao longo da curva e
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right).
(Num valor aproximado \theta\approx 35{,}264^\circ, se quiser um número.)

Passo 5

(d) Calcular \mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t) e interpretar geometricamente.
Primeiro preciso de \mathbf{r}''(t). Já tenho \mathbf{r}'(t)=\big(e^{t}(\cos-\sin),\;e^{t}(\sin+\cos),\;e^{t}\big). Derivo cada componente:
Derivando a primeira componente e^{t}(\cos t-\sin t):
\frac{d}{dt}\big(e^{t}(\cos-\sin)\big) = e^{t}(\cos-\sin) + e^{t}(-\sin -\cos) = e^{t}\big((\cos-\sin)+(-\sin-\cos)\big) = e^{t}(-2\sin).
Derivando a segunda componente e^{t}(\sin+\cos):
\frac{d}{dt}\big(e^{t}(\sin+\cos)\big) = e^{t}(\sin+\cos) + e^{t}(\cos-\sin) = e^{t}\big((\sin+\cos)+(\cos-\sin)\big) = e^{t}(2\cos).
Derivando a terceira componente e^{t} e^{t}.
Logo
\mathbf{r}''(t)=\big(-2e^{t}\sin t,\;2e^{t}\cos t,\;e^{t}\big).
Para o produto vetorial, fatoro e^{t} de \mathbf{r}' e e^{t} de \mathbf{r}''. Escrevendo
\mathbf{r}'(t)=e^{t}\mathbf{v}_1,\qquad \mathbf{r}''(t)=e^{t}\mathbf{v}_2,
onde \mathbf{v}_1=(\cos-\sin,\;\sin+\cos,\;1) e \mathbf{v}_2=(-2\sin,\;2\cos,\;1). Então
\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)=e^{2t}\big(\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2\big).
Calculo \mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2 pelo determinante (com cuidado nos sinais):
\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \cos-\sin & \sin+\cos & 1 \\\\ -2\sin & 2\cos & 1 \end{vmatrix}.
Componentes:
  • Componente i: (\sin+\cos)\cdot 1 - 1\cdot(2\cos) = \sin+\cos-2\cos = \sin-\cos.
  • Componente j: -\big((\cos-\sin)\cdot 1 - 1\cdot(-2\sin)\big) = -\big(\cos-\sin+2\sin\big) = -(\cos+\sin).
  • Componente k: (\cos-\sin)\cdot(2\cos) - (\sin+\cos)\cdot(-2\sin) = 2\cos(\cos-\sin) + 2\sin(\sin+\cos) = 2\big(\cos^{2}-\cos\sin+\sin^{2}+\sin\cos\big) = 2(\cos^{2}+\sin^{2}) = 2.
Portanto
\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2 = (\sin-\cos,\;-(\cos+\sin),\;2)
e assim
\boxed{\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)=e^{2t}\big(\sin t-\cos t,\;-(\cos t+\sin t),\;2\big).}
Interpretação geométrica (explicando devagar): o produto vetorial \mathbf{r}'\times\mathbf{r}'' é um vetor ortogonal a ambos \mathbf{r}' (velocidade) e \mathbf{r}'' (aceleração); portanto aponta na direção do binormal ao plano osculador da curva naquele ponto. Se esse vetor é diferente do vetor nulo, significa que \mathbf{r}' e \mathbf{r}'' são linearmente independentes e a curva não é uma reta naquele ponto.
Posso também dar a magnitude, que às vezes é útil para relacionar com a curvatura:
\|\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)\| = e^{2t}\sqrt{(\sin-\cos)^{2}+(\cos+\sin)^{2}+2^{2}} = e^{2t}\sqrt{2+4}=e^{2t}\sqrt{6}.
E a curvatura \kappa satisfaz
\kappa=\frac{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|}{\|\mathbf{r}'\|^{3}} = \frac{e^{2t}\sqrt{6}}{\big(e^{t}\sqrt{3}\big)^{3}} = \frac{\sqrt{6}}{e^{t}\,3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{3e^{t}}.
Isso mostra que a curvatura decresce como e^{-t}. Mas o ponto principal pedido era que o produto vetorial fornece a direção binormal (normal ao plano gerado por velocidade e aceleração) e o seu módulo está dado acima.

Resposta

(a) \|\mathbf{r}(t)\|=e^{t}\sqrt{2}
(b) \displaystyle \mathbf{r}'(t)=\big(e^{t}(\cos t-\sin t),\;e^{t}(\sin t+\cos t),\;e^{t}\big),
\displaystyle \|\mathbf{r}'(t)\|=e^{t}\sqrt{3}
(c) \displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt{6}}{3}, \displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right). O ângulo é constante (não depende de t).
(d) \displaystyle \mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)=e^{2t}\big(\sin t-\cos t,\;-(\cos t+\sin t),\;2\big). Geometricamente é um vetor ortogonal a \mathbf{r}' e \mathbf{r}'' (direção binormal do plano osculador); \|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|=e^{2t}\sqrt{6} e a curvatura é \displaystyle \kappa=\frac{\sqrt{2}}{3e^{t}}.

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