Seja \mathbf{r}(t)=\left(t^{2}, 2 t-1, e^{t}\right) uma função vetorial.
a) Calcule \mathbf{r}(0), \mathbf{r}(1) e \mathbf{r}(-1).
b) Determine \mathbf{r}^{\prime}(t).
c) Calcule o vetor tangente à curva no ponto t=0 e seu versor \hat{\mathbf{T}}(0).
Passo 1
O enunciado nos dá a função vetorial \mathbf{r}(t)=\left(t^{2},\,2t-1,\,e^{t}\right) e pede três coisas:
(a) calcular \mathbf{r}(0),\\ \mathbf{r}(1) e \mathbf{r}(-1);
(b) determinar \mathbf{r}^{\prime}(t) (a derivada da função vetorial);
(c) calcular o vetor tangente à curva no ponto t=0 (que é \mathbf{r}'(0)) e o seu versor unitário \hat{\mathbf{T}}(0).
As informações relevantes do enunciado são exatamente as componentes da função vetorial \mathbf{r}(t): primeira componente t^{2}, segunda 2t-1 e terceira e^{t}. A partir disso vamos substituir valores de t (para a letra a), derivar componente a componente (para b) e avaliar/normalizar no ponto t=0 (para c).
Passo 2
(a) Como avaliar uma função vetorial em um valor t=t_0: basta substituir t_0 em cada componente.
Para \mathbf{r}(0) substitui-se t=0 em cada componente:
Observação: e^{-1} também pode ser escrito como \dfrac{1}{e}, se preferir.
Passo 4
(b) Para derivar uma função vetorial, derivamos cada componente em relação a t (regra básica: derivada componente a componente). Vou lembrar as regras usadas:
Derivada de t^{2} é 2t (regra do poder: \dfrac{d}{dt}t^{n}=nt^{n-1}).
Derivada de 2t-1 é 2 (derivada de 2t é 2; derivada de constante -1 é 0).
Derivada de e^{t} é e^{t} (a exponencial é sua própria derivada).
Comentário curto e motivador: esse vetor aponta na direção em que a curva está “saindo” do ponto t=0.
Passo 6
(c) Agora encontramos o versor (vetor unitário) \hat{\mathbf{T}}(0), que é o vetor tangente normalizado. Primeiro calculamos a norma (módulo) de \mathbf{r}'(0). A norma de um vetor (a,b,c) é \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}. Aplicando: