Seja \mathbf{r}(t)=\left(t^{2}, 2 t-1, e^{t}\right) uma função vetorial.
a) Calcule \mathbf{r}(0), \mathbf{r}(1) e \mathbf{r}(-1).
b) Determine \mathbf{r}^{\prime}(t).
c) Calcule o vetor tangente à curva no ponto t=0 e seu versor \hat{\mathbf{T}}(0).

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial \mathbf{r}(t)=\left(t^{2},\,2t-1,\,e^{t}\right) e pede três coisas:
  • (a) calcular \mathbf{r}(0),\\ \mathbf{r}(1) e \mathbf{r}(-1);
  • (b) determinar \mathbf{r}^{\prime}(t) (a derivada da função vetorial);
  • (c) calcular o vetor tangente à curva no ponto t=0 (que é \mathbf{r}'(0)) e o seu versor unitário \hat{\mathbf{T}}(0).
As informações relevantes do enunciado são exatamente as componentes da função vetorial \mathbf{r}(t): primeira componente t^{2}, segunda 2t-1 e terceira e^{t}. A partir disso vamos substituir valores de t (para a letra a), derivar componente a componente (para b) e avaliar/normalizar no ponto t=0 (para c).

Passo 2

(a) Como avaliar uma função vetorial em um valor t=t_0: basta substituir t_0 em cada componente.
  • Para \mathbf{r}(0) substitui-se t=0 em cada componente:
\mathbf{r}(0)=\bigl(0^{2},\;2\cdot 0-1,\;e^{0}\bigr).
Agora simplificar cada entrada:
0^{2}=0,\qquad 2\cdot 0-1=-1,\qquad e^{0}=1.
Portanto
\mathbf{r}(0)=\left(0,\,-1,\,1\right).

Passo 3

(a) Continuando com t=1 e t=-1:
  • Para \mathbf{r}(1):
\mathbf{r}(1)=\bigl(1^{2},\;2\cdot 1-1,\;e^{1}\bigr)=\bigl(1,\;2-1,\;e\bigr)=\left(1,\,1,\,e\right).
  • Para \mathbf{r}(-1):
\mathbf{r}(-1)=\bigl((-1)^{2},\;2\cdot(-1)-1,\;e^{-1}\bigr)=\bigl(1,\;-2-1,\;e^{-1}\bigr)=\left(1,\,-3,\,e^{-1}\right).
Observação: e^{-1} também pode ser escrito como \dfrac{1}{e}, se preferir.

Passo 4

(b) Para derivar uma função vetorial, derivamos cada componente em relação a t (regra básica: derivada componente a componente). Vou lembrar as regras usadas:
  • Derivada de t^{2} é 2t (regra do poder: \dfrac{d}{dt}t^{n}=nt^{n-1}).
  • Derivada de 2t-1 é 2 (derivada de 2t é 2; derivada de constante -1 é 0).
  • Derivada de e^{t} é e^{t} (a exponencial é sua própria derivada).
Aplicando componente a componente:
\mathbf{r}^{\prime}(t)=\left(\dfrac{d}{dt}t^{2},\;\dfrac{d}{dt}(2t-1),\;\dfrac{d}{dt}e^{t}\right)=\left(2t,\;2,\;e^{t}\right).

Passo 5

(c) O vetor tangente à curva no ponto t=0 é exatamente \mathbf{r}'(0). Então avaliamos a derivada que encontramos em t=0:
\mathbf{r}'(0)=\left(2\cdot 0,\;2,\;e^{0}\right)=\left(0,\;2,\;1\right).
Comentário curto e motivador: esse vetor aponta na direção em que a curva está “saindo” do ponto t=0.

Passo 6

(c) Agora encontramos o versor (vetor unitário) \hat{\mathbf{T}}(0), que é o vetor tangente normalizado. Primeiro calculamos a norma (módulo) de \mathbf{r}'(0). A norma de um vetor (a,b,c) é \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}. Aplicando:
\bigl\lVert \mathbf{r}'(0)\bigr\rVert=\sqrt{0^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{0+4+1}=\sqrt{5}.

Passo 7

(c) Finalmente o versor unitário é a divisão componente a componente do vetor tangente pela sua norma:
\hat{\mathbf{T}}(0)=\frac{\mathbf{r}'(0)}{\bigl\lVert \mathbf{r}'(0)\bigr\rVert }=\frac{\left(0,\,2,\,1\right)}{\sqrt{5}}=\left(0,\;\dfrac{2}{\sqrt{5}},\;\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right).
Isso é um vetor de norma 1 que aponta na mesma direção de \mathbf{r}'(0).

Resposta

(a) \mathbf{r}(0)=\left(0,-1,1\right)\
\mathbf{r}(1)=\left(1,1,e\right)\
\mathbf{r}(-1)=\left(1,-3,e^{-1}\right)\
(b) \mathbf{r}^{\prime}(t)=\left(2t,\,2,\,e^{t}\right)\
(c) vetor tangente em t=0: \mathbf{r}'(0)=\left(0,2,1\right)\
versor unitário em t=0: \hat{\mathbf{T}}(0)=\left(0,\dfrac{2}{\sqrt{5}},\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)

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