Seja \mathbf{r}(t)=(t-\sin t, 1-\cos t, 0) (ciclóide).
a) Calcule \mathbf{r}^{\prime}(t) e \left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\|.
b) Determine o comprimento de arco para t \in[0,2 \pi] :
L=\int_{0}^{2 \pi}\left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\| d t
c) Encontre os pontos onde a curva tem tangente vertical.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada pela ciclóide
\mathbf{r}(t)=(t-\sin t,\;1-\cos t,\;0)
e pede três coisas:
  • (a) Calcular \mathbf{r}^{\prime}(t) e \left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\|.
  • (b) Calcular o comprimento de arco
L=\int_{0}^{2\pi}\left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\|\,dt.
  • (c) Encontrar os pontos onde a curva tem tangente vertical (ou seja, onde a linha tangente é vertical).
Informações úteis imediatamente dadas pelo enunciado:
  • A componente x(t)=t-\sin t.
  • A componente y(t)=1-\cos t.
  • A componente z(t)=0.
  • O intervalo para o comprimento é t\in[0,2\pi].

Passo 2

Calcular \mathbf{r}^{\prime}(t) componente a componente. Lembrando que a derivada de \sin t é \cos t e a derivada de \cos t é -\sin t.
A derivada das componentes é
\frac{d}{dt}\bigl(t-\sin t\bigr)=1-\cos t, \qquad \frac{d}{dt}\bigl(1-\cos t\bigr)=\sin t, \qquad \frac{d}{dt}(0)=0.
Portanto
\mathbf{r}^{\prime}(t)=\bigl(1-\cos t,\;\sin t,\;0\bigr).
Explicação curta: para cada componente da parametrização aplica-se a regra básica de derivação termo a termo; a derivada de t é 1, a de -\sin t é -\cos t, e assim por diante.

Passo 3

Agora vamos calcular a norma \left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\|. A norma de um vetor (a,b,c) é \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}. Aqui
\left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\| = \sqrt{(1-\cos t)^{2} + (\sin t)^{2} + 0^{2}}.
Desenvolvendo os quadrados:
(1-\cos t)^{2}+(\sin t)^{2} =1 - 2\cos t + \cos^{2}t + \sin^{2}t.
Usando a identidade trigonométrica \cos^{2}t+\sin^{2}t=1 obtemos
1 - 2\cos t + (\cos^{2}t+\sin^{2}t) = 1 - 2\cos t + 1 = 2 - 2\cos t.
Assim
\left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\| = \sqrt{2-2\cos t}.
Agora simplificamos usando a identidade de meia-ângulo 1-\cos t = 2\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr). Então
2-2\cos t = 4\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr),
e finalmente
\left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\| = \sqrt{4\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)} = 2\left|\sin\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\right|.
Observação importante sobre o valor absoluto: para t\in[0,2\pi] temos \tfrac{t}{2}\in[0,\pi], onde \sin\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\ge0. Portanto, no intervalo pedido podemos retirar o valor absoluto e escrever
\left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\| = 2\sin\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr), \qquad t\in[0,2\pi].

Passo 4

Calcular o comprimento de arco
L=\int_{0}^{2\pi}\left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\|\,dt = \int_{0}^{2\pi} 2\sin\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\,dt.
Fazemos a substituição u=\tfrac{t}{2}. Então dt=2\,du. Quando t=0 temos u=0; quando t=2\pi temos u=\pi. Assim
L = \int_{u=0}^{u=\pi} 2\sin(u)\cdot 2\,du = 4\int_{0}^{\pi}\sin u\,du.
A primitiva de \sin u é -\cos u, logo
4\int_{0}^{\pi}\sin u\,du = 4\bigl[-\cos u\bigr]_{0}^{\pi} = 4\bigl(-\cos\pi + \cos 0\bigr).
Como \cos\pi = -1 e \cos 0 = 1, temos
4\bigl(-(-1)+1\bigr)=4(1+1)=8.
Portanto o comprimento de arco no intervalo é L=8.
Breve comentário didático: a mudança u=t/2 é padrão quando aparece \sin(t/2); faz com que a integral vire uma integral simples de \sin num intervalo 0 a \pi.

Passo 5

Determinar onde a curva tem tangente vertical. Primeiro lembrar a condição usual:
  • Se \mathbf{r}^{\prime}(t_{0})=(x'(t_{0}),y'(t_{0}),z'(t_{0})) tem x'(t_{0})=0 e y'(t_{0})\neq0, então a reta tangente é vertical (slope \tfrac{dy}{dx} tende a infinito).
  • Se tanto x'(t_{0})=0 quanto y'(t_{0})=0, então o vetor velocidade é nulo e o ponto pode ser uma singularidade (por exemplo cusp); aí é necessário examinar derivadas de ordem superior ou o comportamento limite para decidir a direção da tangente.
No nosso caso temos já calculado
x'(t)=1-\cos t, \qquad y'(t)=\sin t.
Resolver x'(t)=0
1-\cos t=0 \quad\Longrightarrow\quad \cos t=1 \quad\Longrightarrow\quad t=2k\pi,\; k\in\mathbb{Z}.
Para esses valores também \sin t=0, logo y'(t)=0. Assim em nenhum ponto do tipo t=2k\pi vale a condição x'=0 e y'\neq0; em vez disso temos x'=y'=0 (vetor velocidade nulo) — são pontos singulares.
Para decidir se nesses pontos a curva tem uma tangente vertical (mesmo com vetor velocidade nulo) examinamos o comportamento próximo ao ponto. Concentre-se em t=0 (o caso t=2\pi é análogo deslocando o parâmetro). Usamos séries de Taylor para pequenas t:
\sin t = t - \frac{t^{3}}{6} + O(t^{5}), \qquad \cos t = 1 - \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{4}}{24} + O(t^{6}).
Logo, para pequenas t,
x(t)=t-\sin t \approx t -\Bigl(t-\frac{t^{3}}{6}\Bigr)=\frac{t^{3}}{6}+O(t^{5}),
y(t)=1-\cos t \approx 1-\Bigl(1-\frac{t^{2}}{2}\Bigr)=\frac{t^{2}}{2}+O(t^{4}).
Daí, eliminando t entre essas aproximações, tem-se aproximadamente
y \approx \frac{1}{2}\,t^{2},\qquad x\approx\frac{1}{6}\,t^{3}
\Longrightarrow\qquad y \approx \frac{1}{2}\bigl(6x\bigr)^{2/3} = C\,x^{2/3}\quad\text{com }C=\tfrac{1}{2}\,6^{2/3}.
Uma curva com dependência y\propto x^{2/3} tem derivada dy/dx\sim x^{-1/3} que tende para +\infty quando x\to0^{+}. Isso mostra que, embora o vetor velocidade seja nulo exatamente em t=0, o gráfico tem um cusp cujo “enomento” é vertical (o limite da inclinação quando se aproxima do ponto pelo lado onde a curva existe é infinito). O mesmo raciocínio vale para t=2\pi (usar s=2\pi-t e obter comportamento semelhante, com inclinação tendendo a -\infty quando se aproxima por um dos lados).
Portanto, os pontos singulares t=2k\pi são os pontos onde a curva apresenta o comportamento de tangente vertical (cusps). No intervalo considerado t\in[0,2\pi] os valores são t=0 e t=2\pi. As coordenadas desses pontos são
\mathbf{r}(0)=(0,0,0),\qquad \mathbf{r}(2\pi)=(2\pi,0,0).
Resumo intuitivo: não existe ponto com x'=0 e y'\neq0; em vez disso há pontos onde x'=y'=0 e o exame local mostra que a curva forma um cusp com tangente vertical (a inclinação tende a infinito ao aproximar-se).

Resposta

(a) \mathbf{r}^{\prime}(t)=\bigl(1-\cos t,\;\sin t,\;0\bigr) e \left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\|=2\sin\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr) para t\in[0,2\pi].\n
(b) L=8.\n
(c) Pontos com tangente vertical (cusps): t=0 e t=2\pi, isto é, \mathbf{r}(0)=(0,0,0) e \mathbf{r}(2\pi)=(2\pi,0,0).

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