Seja uma matriz
com
e
. Mostre que
é equivalente linha de
se e somente se
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada
cujos elementos chamamos de
. As informações explícitas são:
-
, -
.
O que se pede: mostrar que
é equivalente linha de
se e somente se
Ou seja, devemos provar a equivalência lógica entre a propriedade “pode-se transformar
em
por operações elementares de linha” e a não anulação daquela expressão que aparece no enunciado.
Passo 2
Recordando um fato básico e importante (explicado com calma): dizer que uma matriz quadrada
é equivalente linha de
significa que existe uma sequência de operações elementares de linha que transforma
em
. Cada operação elementar de linha corresponde a multiplicar
à esquerda por uma matriz elementar invertível. Portanto, se
é equivalente linha de
então existe uma matriz invertível
tal que
Multiplicando determinantes obtemos
portanto
. Em palavras: se
reduz a
por operações de linha então
é invertível e seu determinante é não nulo.
(Aqui uma mini-aula: matrices elementares são invertíveis porque cada operação de linha tem operação inversa; por exemplo trocar duas linhas se inverte trocando novamente, adicionar múltiplo de uma linha a outra se inverte subtraindo o mesmo múltiplo, e multiplicar uma linha por escalar não nulo se inverte multiplicando por seu inverso. Assim produto de elementares é invertível.)
Passo 3
Agora calculemos o determinante de
em função dos
. A fórmula de expansão pela primeira linha dá
Como o enunciado afirma
, o primeiro termo some e ficamos com
Expandindo os parênteses obtemos exatamente
Portanto a expressão do enunciado é exatamente
(no caso em que
).
Passo 4
Reescrevendo o objetivo com o que já vimos: precisamos mostrar
porque a expressão do enunciado é
. Então a tarefa fica em provar a equivalência entre "ser equivalente linha de
" e “ter determinante diferente de zero”.
Passo 5
Direção “
”: se
é equivalente linha de
então
.
Justificativa detalhada: se
reduz a
por operações de linha, existe matriz elementar invertível
com
. Tomando determinantes,
Como
é um número não nulo (matrizes elementares têm determinante não zero), segue que
também é não nulo. Logo a expressão do enunciado (que é
) é diferente de zero.
Passo 6
Direção “
”: se
então
é equivalente linha de
.
Justificativa didática e construtiva:
significa que
é invertível. Para matrizes quadradas, ser invertível equivale a existir uma combinação de operações elementares de linha que transforma
em
; isso é exatamente o algoritmo de Gauss-Jordan para encontrar a inversa. Mais concretamente, ao aplicar Gauss-Jordan à matriz aumentada
pode-se reduzir o bloco esquerdo
a
e o bloco direito resultará em
. Cada passo do Gauss-Jordan é uma operação elementar de linha (adição de múltiplos de linhas, troca de linhas, multiplicação de linha por escalar não nulo), e todas são admissíveis porque
garante que em nenhum passo sério ficaremos presos por pivôs obrigatoriamente nulos (quando isto acontece, trocar linhas ou a não nulidade do determinante permite escolher pivôs não nulos). Em particular, a hipótese adicional
é útil na prática: se
e
basta trocar
com
para obter um pivô não nulo na primeira linha e continuar a eliminação normalmente; como
a eliminação sucessiva conduz a uma matriz triangular com diagonais não nulas e, após escalonar e normalizar, atinge-se
.
Assim, a não nulidade do determinante garante que existe sequência de matrizes elementares
tal que
, ou seja,
é equivalente linha de
.
Passo 7
Conclusão (síntese): já mostramos que
- se
é equivalente linha de então ; - se
então é equivalente linha de .
Também mostramos que, sob a hipótese
, a expressão do enunciado é precisamente
. Portanto as duas afirmações do problema coincidem:
é equivalente linha de
se e somente se a expressão dada for diferente de zero.