Seja uma matriz 3 \times 3 com a_{11}=0 e a_{21} \neq 0. Mostre que A é equivalente linha de I se e somente se
\begin{aligned} & -a_{12} a_{21} a_{33}+a_{12} a_{31} a_{23} \\ & +a_{13} a_{21} a_{32}-a_{13} a_{31} a_{22} \neq 0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada 3\times3 cujos elementos chamamos de a_{ij}. As informações explícitas são:
  • a_{11}=0,
  • a_{21}\neq0.
O que se pede: mostrar que A é equivalente linha de I se e somente se
-a_{12} a_{21} a_{33}+a_{12} a_{31} a_{23} +a_{13} a_{21} a_{32}-a_{13} a_{31} a_{22}\neq0.
Ou seja, devemos provar a equivalência lógica entre a propriedade “pode-se transformar A em I por operações elementares de linha” e a não anulação daquela expressão que aparece no enunciado.

Passo 2

Recordando um fato básico e importante (explicado com calma): dizer que uma matriz quadrada A é equivalente linha de I significa que existe uma sequência de operações elementares de linha que transforma A em I. Cada operação elementar de linha corresponde a multiplicar A à esquerda por uma matriz elementar invertível. Portanto, se A é equivalente linha de I então existe uma matriz invertível E tal que
E A = I.
Multiplicando determinantes obtemos
\det(EA)=\det E\det A=\det I=1,
portanto \det A\neq0. Em palavras: se A reduz a I por operações de linha então A é invertível e seu determinante é não nulo.
(Aqui uma mini-aula: matrices elementares são invertíveis porque cada operação de linha tem operação inversa; por exemplo trocar duas linhas se inverte trocando novamente, adicionar múltiplo de uma linha a outra se inverte subtraindo o mesmo múltiplo, e multiplicar uma linha por escalar não nulo se inverte multiplicando por seu inverso. Assim produto de elementares é invertível.)

Passo 3

Agora calculemos o determinante de A em função dos a_{ij}. A fórmula de expansão pela primeira linha dá
\det A = a_{11}\bigl(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\bigr) - a_{12}\bigl(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\bigr) + a_{13}\bigl(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\bigr).
Como o enunciado afirma a_{11}=0, o primeiro termo some e ficamos com
\det A = - a_{12}\bigl(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\bigr) + a_{13}\bigl(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\bigr).
Expandindo os parênteses obtemos exatamente
\det A = -a_{12} a_{21} a_{33}+a_{12} a_{31} a_{23} +a_{13} a_{21} a_{32}-a_{13} a_{31} a_{22}.
Portanto a expressão do enunciado é exatamente \det A (no caso em que a_{11}=0).

Passo 4

Reescrevendo o objetivo com o que já vimos: precisamos mostrar
A \text{ é equivalente linha de } I \quad\Longleftrightarrow\quad \det A \neq 0,é
porque a expressão do enunciado é \det A. Então a tarefa fica em provar a equivalência entre "ser equivalente linha de I" e “ter determinante diferente de zero”.

Passo 5

Direção “ \Rightarrow”: se A é equivalente linha de I então \det A\neq0.
Justificativa detalhada: se A reduz a I por operações de linha, existe matriz elementar invertível E com EA=I. Tomando determinantes,
\det E\cdot\det A=\det I=1.
Como \det E é um número não nulo (matrizes elementares têm determinante não zero), segue que \det A também é não nulo. Logo a expressão do enunciado (que é \det A) é diferente de zero.

Passo 6

Direção “ \Leftarrow”: se \det A\neq0 então A é equivalente linha de I.
Justificativa didática e construtiva: \det A\neq0 significa que A é invertível. Para matrizes quadradas, ser invertível equivale a existir uma combinação de operações elementares de linha que transforma A em I; isso é exatamente o algoritmo de Gauss-Jordan para encontrar a inversa. Mais concretamente, ao aplicar Gauss-Jordan à matriz aumentada (A\mid I) pode-se reduzir o bloco esquerdo A a I e o bloco direito resultará em A^{-1}. Cada passo do Gauss-Jordan é uma operação elementar de linha (adição de múltiplos de linhas, troca de linhas, multiplicação de linha por escalar não nulo), e todas são admissíveis porque \det A\neq0 garante que em nenhum passo sério ficaremos presos por pivôs obrigatoriamente nulos (quando isto acontece, trocar linhas ou a não nulidade do determinante permite escolher pivôs não nulos). Em particular, a hipótese adicional a_{21}\neq0 é útil na prática: se a_{11}=0 e a_{21}\neq0 basta trocar R_1 com R_2 para obter um pivô não nulo na primeira linha e continuar a eliminação normalmente; como \det A\neq0 a eliminação sucessiva conduz a uma matriz triangular com diagonais não nulas e, após escalonar e normalizar, atinge-se I.
Assim, a não nulidade do determinante garante que existe sequência de matrizes elementares E tal que EA=I, ou seja, A é equivalente linha de I.

Passo 7

Conclusão (síntese): já mostramos que
  • se A é equivalente linha de I então \det A\neq0;
  • se \det A\neq0 então A é equivalente linha de I.
Também mostramos que, sob a hipótese a_{11}=0, a expressão do enunciado é precisamente \det A. Portanto as duas afirmações do problema coincidem: A é equivalente linha de I se e somente se a expressão dada for diferente de zero.

Resposta

-a_{12} a_{21} a_{33}+a_{12} a_{31} a_{23} +a_{13} a_{21} a_{32}-a_{13} a_{31} a_{22}\neq0

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