Seja
o subespaço de
formado pelos vetores da forma (
) e seja
o subespaço de todos os vetores da forma
. Quais as dimensões de
? Encontre uma base para cada um desses subespaços.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (interpretei pequeno trecho ambíguo do enunciado como explicado abaixo).
Dados (peguei estes sinais do enunciado):
-
é o subespaço de formado pelos vetores da forma com . - O segundo subespaço no enunciado aparece escrito como
mas depois é pedido sobre . Vou interpretar que o subespaço é e que ele é formado pelos vetores da forma com .
O enunciado pede:
- As dimensões de
. - Uma base para cada um desses subespaços.
Obs.: se a sua intenção fosse outra na notação do enunciado (por exemplo outro formato para
), me avise; aqui vou resolver assumindo as formas acima.
Passo 2
Entender e parametrizar
.
Um subespaço dado por vetores da forma
significa que as duas primeiras coordenadas são livres e as duas últimas são zero. Posso escrever qualquer vetor de
como combinação linear das duas “direções” canônicas:
Explicação didática rápida:
- “Span” (espaço gerado) de um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores.
- Uma base é um conjunto de vetores que gera o espaço e que é linearmente independente.
Aqui vemos que os vetorese geram .
Verificação de independência (passo a passo):
Se então olhando coordenada a coordenada temos
e
. Logo são linearmente independentes.
Se
Portanto:
- Uma base de
é . - A dimensão de
é .
Passo 3
Entender e parametrizar
.
Assim
.
Verificação de independência:
Se então
e
. Logo são independentes.
Se
Portanto:
- Uma base de
é . - A dimensão de
é .
Passo 4
Calcular
(interseção).
Um vetor
pertence a
se e somente se pertence a
e a
ao mesmo tempo. Escrevamos um vetor genérico de cada forma e igualemos coordenadas.
Vetor em
:
.
Vetor em :
.
Vetor em
Se um vetor está em ambas as formas, então
Comparando coordenada a coordenada:
- primeira coordenada:
, - segunda coordenada:
(qualquer valor real), - terceira coordenada:
então , - quarta coordenada:
(ok).
Conclusão: vetores na interseção têm a forma
com
. Isto é
Logo:
- Uma base de
é . - A dimensão de
é .
Passo 5
Calcular
(soma dos subespaços).
Definição prática:
. Uma forma prática é tomar as bases e ver o espaço gerado pela união das bases:
Podemos também descrever genericamente: se
e
então
Como
são livres em
, as três primeiras coordenadas podem ser quaisquer
reais (com
) e a quarta coord é sempre zero. Assim
Agora verificar que
é um conjunto linearmente independente:
Se então olhando coordenadas obtemos
. Logo são independentes e formam uma base do espaço de soma.
Se
Portanto:
- Uma base de
é . - A dimensão de
é .
Comentário útil (motivacional): repare que
não é apenas o vetor
, tem dimensão
, então
(soma direta) não vale aqui — a interseção é não trivial.
Resposta
base de
base de
base de
base de