Seja U o subespaço de \mathbb{R}^{4} formado pelos vetores da forma ( a_{1}, a_{2}, 0,0 ) e seja W o subespaço de todos os vetores da forma \left(0, a_{2}, a_{3}, 0\right), a_{1}, a_{2} e a_{3} \in \mathbb{R} v. Quais as dimensões de U, V, U \cap V, U+V ? Encontre uma base para cada um desses subespaços.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (interpretei pequeno trecho ambíguo do enunciado como explicado abaixo).
Dados (peguei estes sinais do enunciado):
  • U é o subespaço de \mathbb{R}^{4} formado pelos vetores da forma (a_{1},a_{2},0,0) com a_{1},a_{2}\in\mathbb{R}.
  • O segundo subespaço no enunciado aparece escrito como W mas depois é pedido sobre V. Vou interpretar que o subespaço é V e que ele é formado pelos vetores da forma \left(0,a_{2},a_{3},0\right) com a_{2},a_{3}\in\mathbb{R}.
O enunciado pede:
  • As dimensões de U,\;V,\;U\cap V,\;U+V.
  • Uma base para cada um desses subespaços.
Obs.: se a sua intenção fosse outra na notação do enunciado (por exemplo outro formato para V), me avise; aqui vou resolver assumindo as formas acima.

Passo 2

Entender e parametrizar U.
Um subespaço dado por vetores da forma (a_{1},a_{2},0,0) significa que as duas primeiras coordenadas são livres e as duas últimas são zero. Posso escrever qualquer vetor de U como combinação linear das duas “direções” canônicas:
(a_{1},a_{2},0,0)=a_{1}(1,0,0,0)+a_{2}(0,1,0,0).
Explicação didática rápida:
  • “Span” (espaço gerado) de um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores.
  • Uma base é um conjunto de vetores que gera o espaço e que é linearmente independente.
    Aqui vemos que os vetores (1,0,0,0) e (0,1,0,0) geram U.
Verificação de independência (passo a passo):
Se c_{1}(1,0,0,0)+c_{2}(0,1,0,0)=(0,0,0,0) então olhando coordenada a coordenada temos c_{1}=0 e c_{2}=0. Logo são linearmente independentes.
Portanto:
  • Uma base de U é \{(1,0,0,0),(0,1,0,0)\}.
  • A dimensão de U é 2.

Passo 3

Entender e parametrizar V.
V é o conjunto de vetores \left(0,a_{2},a_{3},0\right). Podemos escrever
(0,a_{2},a_{3},0)=a_{2}(0,1,0,0)+a_{3}(0,0,1,0).
Assim V=\operatorname{span}\{(0,1,0,0),(0,0,1,0)\}.
Verificação de independência:
Se d_{1}(0,1,0,0)+d_{2}(0,0,1,0)=(0,0,0,0) então d_{1}=0 e d_{2}=0. Logo são independentes.
Portanto:
  • Uma base de V é \{(0,1,0,0),(0,0,1,0)\}.
  • A dimensão de V é 2.

Passo 4

Calcular U\cap V (interseção).
Um vetor x pertence a U\cap V se e somente se pertence a U e a V ao mesmo tempo. Escrevamos um vetor genérico de cada forma e igualemos coordenadas.
Vetor em U: (a_{1},a_{2},0,0).
Vetor em V: (0,b_{2},b_{3},0).
Se um vetor está em ambas as formas, então
(a_{1},a_{2},0,0)=(0,b_{2},b_{3},0).
Comparando coordenada a coordenada:
  • primeira coordenada: a_{1}=0,
  • segunda coordenada: a_{2}=b_{2} (qualquer valor real),
  • terceira coordenada: 0=b_{3} então b_{3}=0,
  • quarta coordenada: 0=0 (ok).
Conclusão: vetores na interseção têm a forma (0,a_{2},0,0) com a_{2}\in\mathbb{R}. Isto é
U\cap V=\{(0,a_{2},0,0):a_{2}\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(0,1,0,0)\}.
Logo:
  • Uma base de U\cap V é \{(0,1,0,0)\}.
  • A dimensão de U\cap V é 1.

Passo 5

Calcular U+V (soma dos subespaços).
Definição prática: U+V=\{u+v: u\in U,\;v\in V\}. Uma forma prática é tomar as bases e ver o espaço gerado pela união das bases:
U+V=\operatorname{span}\{(1,0,0,0),(0,1,0,0)\}\;+\;\operatorname{span}\{(0,1,0,0),(0,0,1,0)\} =\operatorname{span}\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)\}.
Podemos também descrever genericamente: se u=(a_{1},a_{2},0,0)\in U e v=(0,b_{2},b_{3},0)\in V então
u+v=(a_{1},a_{2}+b_{2},b_{3},0).
Como a_{1},a_{2},b_{2},b_{3} são livres em \mathbb{R}, as três primeiras coordenadas podem ser quaisquer x,y,z reais (com x=a_{1},\\ y=a_{2}+b_{2},\\ z=b_{3}) e a quarta coord é sempre zero. Assim
U+V=\{(x,y,z,0):x,y,z\in\mathbb{R}\}.
Agora verificar que \{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)\} é um conjunto linearmente independente:
Se c_{1}(1,0,0,0)+c_{2}(0,1,0,0)+c_{3}(0,0,1,0)=(0,0,0,0) então olhando coordenadas obtemos c_{1}=c_{2}=c_{3}=0. Logo são independentes e formam uma base do espaço de soma.
Portanto:
  • Uma base de U+V é \{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)\}.
  • A dimensão de U+V é 3.
Comentário útil (motivacional): repare que U\cap V não é apenas o vetor 0, tem dimensão 1, então U\oplus V (soma direta) não vale aqui — a interseção é não trivial.

Resposta

\dim(U)=2
base de U: \{(1,0,0,0),(0,1,0,0)\}
\dim(V)=2
base de V: \{(0,1,0,0),(0,0,1,0)\}
\dim(U\cap V)=1
base de U\cap V: \{(0,1,0,0)\}
\dim(U+V)=3
base de U+V: \{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)\}

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