Seja
não-vazio, limitado. Dado
, seja
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- Informação:
é não-vazio e limitado (isto implica que e existem e são finitos). - Informação:
é um número real fixo. - Definição:
. - Pedido: provar que
Passo 2
Lembrando definições e propriedades que vou usar (devagar e claro):
-
é o maior dos menores limites (o maior dos lower bounds) de . Isso significa duas coisas: - Para todo
vale . - Para todo
existe tal que .
- Para todo
-
é o menor dos upper bounds de : - Para todo
vale . - Para todo
existe tal que .
- Para todo
- Importante: se
e , então multiplicando pela constante negativa temos (a desigualdade inverte). - Primeiro passo técnico:
é não-vazio (porque não-vazio) e limitado (se está contido em então está contido em ), então e existem.
Passo 3
Provar que
: mostrar que
é o menor limite superior de
.
-
é um upper bound de .
- Tome qualquer
. Então existe com . - Como
e , multiplicando a desigualdade por obtemos . - Portanto
. Como era arbitrário em , é um limite superior de .
-
é o menor desses upper bounds (é o supremo).
- Para mostrar que é o menor upper bound, tomo um
arbitrário e mostro que existe com . Isso garante que nenhum número menor que pode ser upper bound. - Escolha
(note que porque ). Como é ínfimo, existe tal que - Multiplicando por
(sinal inverte) temos - Assim
satisfaz . Como foi arbitrário, não há upper bound menor que . Logo é o supremo de .
Conclui-se que
Passo 4
Provar que
: argumentação análoga, com desigualdades trocadas.
-
é um lower bound (minorante) de .
- Tome qualquer
. Então existe com . - Como
e , multiplicando por obtém-se . - Portanto
. Como era arbitrário, é um minorante de .
-
é o maior desses minorantes (é o ínfimo).
- Seja
. Defina . - Como
é supremo, existe tal que - Multiplicando por
(invertendo desigualdade) obtemos - Assim existe
com . Isso mostra que nenhum número maior que pode ser um minorante, portanto é o maior minorante, i.e. .
Passo 5
Resumo final dos resultados já provados com clareza: multiplicar um conjunto por constante negativa inverte ordem e troca supremo por c vezes ínfimo, e ínfimo por c vezes supremo.