Seja A \subset \mathbb{R} não-vazio, limitado. Dado c<0, seja c \cdot A=\{c \cdot x \mid x \in A\}. Prove que \sup (c \cdot A)=c \cdot \inf A \mathrm{e} \inf (c \cdot A)=c \cdot \sup A.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Informação: A\subset\mathbb{R} é não-vazio e limitado (isto implica que \inf A e \sup A existem e são finitos).
  • Informação: c<0 é um número real fixo.
  • Definição: c\cdot A=\{c\cdot x \mid x\in A\}.
  • Pedido: provar que
\sup(c\cdot A)=c\cdot\inf A \qquad\text{e}\qquad \inf(c\cdot A)=c\cdot\sup A.

Passo 2

Lembrando definições e propriedades que vou usar (devagar e claro):
  • \inf A é o maior dos menores limites (o maior dos lower bounds) de A. Isso significa duas coisas:
    1. Para todo x\in A vale \inf A\le x.
    2. Para todo \varepsilon>0 existe x\in A tal que x<\inf A+\varepsilon.
  • \sup A é o menor dos upper bounds de A:
    1. Para todo x\in A vale x\le\sup A.
    2. Para todo \varepsilon>0 existe x\in A tal que x>\sup A-\varepsilon.
  • Importante: se c<0 e u\le v, então multiplicando pela constante negativa temos c u \ge c v (a desigualdade inverte).
  • Primeiro passo técnico: c\cdot A é não-vazio (porque A não-vazio) e limitado (se A está contido em [-M,M] então cA está contido em [-|c|M,|c|M]), então \sup(cA) e \inf(cA) existem.

Passo 3

Provar que \sup(c\cdot A)=c\cdot\inf A: mostrar que c\cdot\inf A é o menor limite superior de cA.
  1. c\cdot\inf A é um upper bound de cA.
  • Tome qualquer y\in cA. Então existe x\in A com y=cx.
  • Como \inf A\le x e c<0, multiplicando a desigualdade por c obtemos c\inf A \ge c x.
  • Portanto y=cx\le c\inf A. Como y era arbitrário em cA, c\inf A é um limite superior de cA.
  1. c\cdot\inf A é o menor desses upper bounds (é o supremo).
  • Para mostrar que é o menor upper bound, tomo um \varepsilon>0 arbitrário e mostro que existe y\in cA com y>c\inf A-\varepsilon. Isso garante que nenhum número menor que c\inf A pode ser upper bound.
  • Escolha \delta=\dfrac{\varepsilon}{|c|} (note que |c|=-c porque c<0). Como \inf A é ínfimo, existe x\in A tal que x<\inf A+\delta.
  • Multiplicando por c (sinal inverte) temos cx>c(\inf A+\delta)=c\inf A+c\delta=c\inf A-|c|\delta=c\inf A-\varepsilon.
  • Assim y=cx\in cA satisfaz y>c\inf A-\varepsilon. Como \varepsilon foi arbitrário, não há upper bound menor que c\inf A. Logo c\inf A é o supremo de cA.
Conclui-se que
\sup(c\cdot A)=c\cdot\inf A.

Passo 4

Provar que \inf(c\cdot A)=c\cdot\sup A: argumentação análoga, com desigualdades trocadas.
  1. c\cdot\sup A é um lower bound (minorante) de cA.
  • Tome qualquer y\in cA. Então existe x\in A com y=cx.
  • Como x\le\sup A e c<0, multiplicando por c obtém-se cx\ge c\sup A.
  • Portanto y=cx\ge c\sup A. Como y era arbitrário, c\sup A é um minorante de cA.
  1. c\cdot\sup A é o maior desses minorantes (é o ínfimo).
  • Seja \varepsilon>0. Defina \delta=\dfrac{\varepsilon}{|c|}.
  • Como \sup A é supremo, existe x\in A tal que x>\sup A-\delta.
  • Multiplicando por c (invertendo desigualdade) obtemos cx<c(\sup A-\delta)=c\sup A-c\delta=c\sup A+|c|\delta=c\sup A+\varepsilon.
  • Assim existe y=cx\in cA com y<c\sup A+\varepsilon. Isso mostra que nenhum número maior que c\sup A pode ser um minorante, portanto c\sup A é o maior minorante, i.e. \inf(cA)=c\sup A.

Passo 5

Resumo final dos resultados já provados com clareza: multiplicar um conjunto por constante negativa inverte ordem e troca supremo por c vezes ínfimo, e ínfimo por c vezes supremo.

Resposta

\sup(c\cdot A)=c\cdot\inf A
\inf(c\cdot A)=c\cdot\sup A

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