Seja f: K \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} de classe C^{1} em K. Mostre que a área da superfície z=f(x, y) é dada pela fórmula
\iint_{K} \sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
Calcule a área da superfície z=x y que se encontra dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=1.
Passo 1
O enunciado dá que f:K\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é de classe C^1 em K e pede duas coisas: (i) mostrar que a área da superfície z=f(x,y) sobre o domínio K é dada por
e (ii) calcular a área da superfície z=xy que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=1 (ou seja, sobre o disco unitário D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}).\n
As informações relevantes: f é C^1 (logo as derivadas parciais existem e são contínuas), e o domínio para o segundo item é o disco unitário. A resolução começa a partir dessa descrição.
Passo 2
Ideia geométrica e parametrização: vamos ver a superfície como imagem da parametrização \mathbf{r}(x,y) que toma cada ponto do plano (x,y)\in K para o ponto da superfície (x,y,f(x,y)) em \mathbb{R}^3. Escrevemos
\mathbf{r}(x,y) = (x,\; y,\; f(x,y)).
Explicando devagar: a superfície é o gráfico de f, e parametrizamos por coordenadas naturais (x,y). A área de uma pequena parte da superfície pode ser aproximada pela área do paralelogramo gerado pelos vetores tangentes \mathbf{r}_x\,\mathrm{d}x e \mathbf{r}_y\,\mathrm{d}y, onde \mathbf{r}_x e \mathbf{r}_y são as derivadas parciais de \mathbf{r} em relação a x e y.
Passo 3
Calcular os vetores tangentes: como \mathbf{r}(x,y)=(x,y,f(x,y)), temos (cada componente é uma função; todas as expressões matemáticas estão entre ...)
Interpretação: \mathbf{r}_x aponta na direção em que x varia, \mathbf{r}_y na direção em que y varia; ambos tangenciam o gráfico e geram o paralelogramo que aproxima a área local.
Passo 4
Área elementar pela norma do produto vetorial: a área do paralelogramo gerado por \mathbf{r}_x\,\mathrm{d}x e \mathbf{r}_y\,\mathrm{d}y é
Conclusão da derivação da fórmula: como cada pequeno elemento de área da superfície vale \sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y, integrando sobre todo o domínio K obtemos a área total da superfície:
Comentário pedagógico: a hipótese C^1 garante que f_x e f_y são contínuas, logo o integrando é contínuo e a integral está bem definida. Geometricamente, aproximamos a superfície por paralelogramos tangentes e somamos (integral).
Passo 6
Aplicação ao caso z=xy sobre o disco unitário D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}. Primeiro calculemos as derivadas parciais:
Mudança para coordenadas polares (motivo: o domínio D é o disco unitário, simetria circular). Em coordenadas polares tomamos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
com r\in[0,1] e \theta\in[0,2\pi]. O jacobiano da transformação é r, então \mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta. Além disso x^{2}+y^{2}=r^{2}, então o integrando vira \sqrt{1+r^{2}}. Assim a integral é
Pequeno incentivo: ficou um resultado bonito e fechado; se bater ansiedade na prova, lembra que a ideia foi parametrizar, calcular \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y e usar coordenadas adequadas (a simetria do domínio sugeriu polares).