Seja a superfície S parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, interior ao cone z=\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{3}}.
(a) Obtenha uma parametrização para S usando coordenadas cartesianas.
(b) Obtenha uma parametrização para S usando coordenadas polares.
(c) Obtenha uma parametrização para S usando coordenadas esféricas.
(d) Calcule a área de S.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 (raio 2, centrada na origem).
  • O cone z=\sqrt{\dfrac{x^{2}+y^{2}}{3}} (superfície que abre para cima).
  • A superfície S é a parte da esfera que fica interior ao cone (isto é, a porção da esfera que está dentro da região limitada pelo cone, com z\ge 0).
O que o exercício pede:
(a) uma parametrização de S usando coordenadas cartesianas;
(b) uma parametrização de S usando coordenadas polares (cilíndricas no plano xy);
(c) uma parametrização de S usando coordenadas esféricas;
(d) calcular a área de S.
Informações relevantes que temos e que serão usadas:
  • Na esfera, a coordenada z sobre a parte superior vale z=+\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}.
  • No cone, em coordenadas polares (raio no plano xy chamado aqui de r) a relação é z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,r.
  • A condição “interior ao cone” sobre a parte superior da esfera se transforma em \sqrt{4-r^{2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,r; isso limitará o domínio em r.

Passo 2

Parametrização em coordenadas cartesianas.
Explicação passo a passo:
  • Para a parte superior da esfera substitui-se z por z=+\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}. Essa escolha do sinal mais é porque a porção interior ao cone está com z\ge 0.
  • A parametrização natural por variáveis cartesianas é
\mathbf{r}(x,y)=\bigl(x,\;y,\;\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}\bigr).
  • Precisamos descobrir o domínio \mathcal{D} em (x,y). A condição “interior ao cone” é
\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}\ge \frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Como o lado esquerdo é não negativo, podemos elevar ao quadrado sem trocar desigualdade:
4-(x^{2}+y^{2})\ge \frac{1}{3}(x^{2}+y^{2}).
Somando x^{2}+y^{2} dos dois lados,
4 \ge \frac{4}{3}(x^{2}+y^{2}) \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}\le 3.
Portanto o domínio é o disco fechado de raio \sqrt{3} no plano xy.
Resultado (a) final:
\mathbf{r}(x,y)=\bigl(x,\;y,\;\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}\bigr),\qquad x^{2}+y^{2}\le 3.

Passo 3

Parametrização em coordenadas polares (cilíndricas no plano xy).
Explicação:
  • Em coordenadas polares no plano xy escrevemos x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta, com r\ge 0,\;0\le\theta<2\pi.
  • A coordenada z na esfera superior é z=\sqrt{4-r^{2}}.
  • O limite em r vem do passo anterior: 0\le r\le\sqrt{3}.
Resultado (b) final:
\mathbf{r}(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;\sqrt{4-r^{2}}\bigr),\qquad 0\le r\le\sqrt{3},\;0\le\theta<2\pi.

Passo 4

Parametrização em coordenadas esféricas.
Revisão rápida da convenção usada:
  • Em coordenadas esféricas (convencional aqui) as variáveis são \rho (distância à origem), \varphi (ângulo a partir do eixo z positivo) e \theta (ângulo azimutal no plano xy). As relações são
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
  • A superfície é parte da esfera de raio 2, então \rho=2 fixo.
  • A condição do cone z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}} em esféricas fica
2\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{3}}\,2\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \cot\varphi=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Isto dá \tan\varphi=\sqrt{3} e portanto \varphi=\dfrac{\pi}{3}.
  • Como queremos a parte interior ao cone (a “tampa” em cima), tomamos 0\le\varphi\le \dfrac{\pi}{3} e 0\le\theta<2\pi.
Resultado (c) final:
\mathbf{r}(\varphi,\theta)=\bigl(2\sin\varphi\cos\theta,\;2\sin\varphi\sin\theta,\;2\cos\varphi\bigr), \qquad 0\le\varphi\le \frac{\pi}{3},\;0\le\theta<2\pi.

Passo 5

Cálculo da área de S — método escolhidos e por quê.
Escolha do método:
  • A parametrização esférica é a mais direta para calcular a área de uma porção de esfera, porque o elemento de área na esfera de raio \rho fica muito simples: dS=\rho^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta. Por isso uso coordenadas esféricas.
Fórmula e integração:
  • Para \rho=2 o elemento de área é dS=4\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
  • A região tem \varphi de 0 até \dfrac{\pi}{3} e \theta de 0 até 2\pi. Assim
\text{Area}(S)=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/3} 4\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
  • Calcula-se a integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi/3}4\sin\varphi\,d\varphi=4\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi/3}=4\bigl(1-\cos\tfrac{\pi}{3}\bigr).
Como \cos\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2}, isso vale 4\cdot\bigl(1-\tfrac{1}{2}\bigr)=4\cdot\tfrac{1}{2}=2.
  • Integrando em \theta (multiplicando por 2\pi):
\text{Area}(S)=2\cdot 2\pi =4\pi.
Verificação rápida com a fórmula do “spherical cap”:
  • Altura do cap h= \rho(1-\cos\phi_{0})=2(1-\tfrac{1}{2})=1.
  • Fórmula da área do calota esférica: \text{Area}=2\pi\rho h=2\pi\cdot 2\cdot 1=4\pi. Confere.

Passo 6

Resumo final das respostas (apresentadas de forma direta para consulta rápida).

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{r}(x,y)=\bigl(x,\;y,\;\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}\bigr),\qquad x^{2}+y^{2}\le 3.
(b) \displaystyle \mathbf{r}(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;\sqrt{4-r^{2}}\bigr),\qquad 0\le r\le\sqrt{3},\;0\le\theta<2\pi.
(c) \displaystyle \mathbf{r}(\varphi,\theta)=\bigl(2\sin\varphi\cos\theta,\;2\sin\varphi\sin\theta,\;2\cos\varphi\bigr),\qquad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{3},\;0\le\theta<2\pi.
(d) \displaystyle \text{Area}(S)=4\pi.

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