Seja a superfície S parte da esfera
, interior ao cone
.
(a) Obtenha uma parametrização para
usando coordenadas cartesianas.
(b) Obtenha uma parametrização para S usando coordenadas polares.
(c) Obtenha uma parametrização para S usando coordenadas esféricas.
(d) Calcule a área de S.
(a) Obtenha uma parametrização para
(b) Obtenha uma parametrização para S usando coordenadas polares.
(c) Obtenha uma parametrização para S usando coordenadas esféricas.
(d) Calcule a área de S.
Passo 1
O enunciado dá:
- A esfera
(raio , centrada na origem). - O cone
(superfície que abre para cima). - A superfície
é a parte da esfera que fica interior ao cone (isto é, a porção da esfera que está dentro da região limitada pelo cone, com ).
O que o exercício pede:
(a) uma parametrização de usando coordenadas cartesianas;
(b) uma parametrização de usando coordenadas polares (cilíndricas no plano
);
(c) uma parametrização de usando coordenadas esféricas;
(d) calcular a área de .
(a) uma parametrização de
(b) uma parametrização de
(c) uma parametrização de
(d) calcular a área de
Informações relevantes que temos e que serão usadas:
- Na esfera, a coordenada
sobre a parte superior vale . - No cone, em coordenadas polares (raio no plano
chamado aqui de ) a relação é . - A condição “interior ao cone” sobre a parte superior da esfera se transforma em
; isso limitará o domínio em .
Passo 2
Parametrização em coordenadas cartesianas.
Explicação passo a passo:
- Para a parte superior da esfera substitui-se
por . Essa escolha do sinal mais é porque a porção interior ao cone está com . - A parametrização natural por variáveis cartesianas é
- Precisamos descobrir o domínio
em . A condição “interior ao cone” é
Como o lado esquerdo é não negativo, podemos elevar ao quadrado sem trocar desigualdade:
Somando
dos dois lados,
Portanto o domínio é o disco fechado de raio
no plano
.
Resultado (a) final:
Passo 3
Parametrização em coordenadas polares (cilíndricas no plano
).
Explicação:
- Em coordenadas polares no plano
escrevemos , com . - A coordenada
na esfera superior é . - O limite em
vem do passo anterior: .
Resultado (b) final:
Passo 4
Parametrização em coordenadas esféricas.
Revisão rápida da convenção usada:
- Em coordenadas esféricas (convencional aqui) as variáveis são
(distância à origem), (ângulo a partir do eixo positivo) e (ângulo azimutal no plano ). As relações são
- A superfície é parte da esfera de raio
, então fixo. - A condição do cone
em esféricas fica
Isto dá
e portanto
.
- Como queremos a parte interior ao cone (a “tampa” em cima), tomamos
e .
Resultado (c) final:
Passo 5
Cálculo da área de
— método escolhidos e por quê.
Escolha do método:
- A parametrização esférica é a mais direta para calcular a área de uma porção de esfera, porque o elemento de área na esfera de raio
fica muito simples: . Por isso uso coordenadas esféricas.
Fórmula e integração:
- Para
o elemento de área é . - A região tem
de até e de até . Assim
- Calcula-se a integral em
:
Como
, isso vale
.
- Integrando em
(multiplicando por ):
Verificação rápida com a fórmula do “spherical cap”:
- Altura do cap
. - Fórmula da área do calota esférica:
. Confere.
Passo 6
Resumo final das respostas (apresentadas de forma direta para consulta rápida).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)