Seja
um operador linear dado por
. Verifique se
é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação linear
definida por
é diagonalizável. Informações dadas:
- A regra de
em coordenadas é . - O espaço de trabalho é
.
A pergunta é única: “édiagonalizável?” (responder sim ou não e justificar).
Passo 2
O que significa ser diagonalizável (explicação didática):
- Dizemos que uma transformação linear
é diagonalizável se existe uma base de formada por autovetores de . Em termos de matrizes, isto significa que existe uma matriz invertível tal que é diagonal, onde é a matriz de numa base. - Autovalor (ou autovalor)
e autovetor satisfazem (ou matricialmente ). - Multiplicidade algébrica de um autovalor: é a multiplicidade desse autovalor como raiz do polinômio característico.
- Multiplicidade geométrica de um autovalor: é a dimensão do espaço próprio (o conjunto de autovetores associados, incluindo o vetor nulo), isto é, a dimensão do núcleo de
. - Critério prático: para uma matriz
, ela é diagonalizável se e somente se a soma das dimensões dos espaços próprios for . Em particular, se um autovalor tem multiplicidade algébrica , é preciso que a sua multiplicidade geométrica também seja (ou seja, que existam dois autovetores linearmente independentes) para ser diagonalizável. Se a multiplicidade geométrica for menor, não é diagonalizável.
Passo 3
Calcular a matriz de
na base canônica
.
-
. -
.
Portanto a matriz dena base padrão é
Passo 4
Calcular os autovalores de
(polinômio característico).
Logo o único autovalor é
com multiplicidade algébrica
.]
Passo 5
Encontrar o espaço próprio associado a
(autovetores).
Precisamos resolver . Calculando:
Precisamos resolver
Se
, o sistema
dá as equações
A segunda equação dá
, e
é livre. Portanto os autovetores associados a
são todos os vetores da forma
,
. O espaço próprio tem dimensão
. Em notação:
logo a multiplicidade geométrica de
é
.]
Passo 6
Conclusão sobre diagonalizabilidade (explicação e intuição):
- Encontramos que o autovalor
tem multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica . - Como a soma das dimensões dos espaços próprios é
, não existe base de formada por autovetores; portanto (e então ) não é diagonalizável. - Intuição: a matriz
é semelhante a um bloco de Jordan do tipo
(ou equivalente), ou seja, tem apenas uma direção própria e por isso não pode ser colocada numa forma diagonal.]
Resposta
Não. O autovalor
tem multiplicidade algébrica
e multiplicidade geométrica
, logo
não é diagonalizável.