Seja
a transformação linear dada por
.
(a) Determine o núcleo de
.
(b) Determine a imagem de
.
(a) Determine o núcleo de
(b) Determine a imagem de
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
As perguntas são:
(a) determinar o núcleo de (isto é, o conjunto de vetores que
envia em
);
(b) determinar a imagem de (isto é, o conjunto de vetores que aparecem como
para algum
).
(a) determinar o núcleo de
(b) determinar a imagem de
Passo 2
Definição e método para o núcleo. Por definição, o núcleo de
é
Aplicando isso à fórmula de
, um vetor genérico é
e
Queremos que
. Isso dá o sistema de equações
As duas primeiras equações impõem
e
, enquanto
não aparece e pode ser qualquer número real.
Passo 3
Concluir o núcleo a partir das condições. Como
e
e
é livre, todo vetor do núcleo tem a forma
Logo o núcleo é a reta gerada pelo vetor
, isto é,
. O espaço tem dimensão
(nullidade
).
Passo 4
Definição e método para a imagem. Por definição,
Uma forma prática de encontrar a imagem é ver a ação sobre a base canônica. Tome os vetores da base padrão:
Calcule
em cada um:
Passo 5
Concluir a imagem a partir das imagens da base. Observamos que os vetores
e
aparecem como imagens, e
não acrescenta geradores. Portanto a imagem é o subespaço gerado por
e
:
Este é o plano
em
, e tem dimensão
(posto
).
Passo 6
Verificação pela fórmula do posto-nulidade. A dimensão do espaço de origem é
. Temos nullidade
e posto
, e de fato
o que confirma a consistência dos resultados.
Resposta
(a)
(b)