Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear dada por T(x, y, z)=(x, y, 0).
(a) Determine o núcleo de T.
(b) Determine a imagem de T.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x,y,0).
As perguntas são:
(a) determinar o núcleo de T (isto é, o conjunto de vetores que T envia em (0,0,0));
(b) determinar a imagem de T (isto é, o conjunto de vetores que aparecem como T(v) para algum v\in\mathbb{R}^3).

Passo 2

Definição e método para o núcleo. Por definição, o núcleo de T é
\ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^3 \mid T(v)=(0,0,0)\}.
Aplicando isso à fórmula de T, um vetor genérico é v=(x,y,z) e
T(x,y,z)=(x,y,0).
Queremos que T(x,y,z)=(0,0,0). Isso dá o sistema de equações
x=0,\qquad y=0,\qquad 0=0.
As duas primeiras equações impõem x=0 e y=0, enquanto z não aparece e pode ser qualquer número real.

Passo 3

Concluir o núcleo a partir das condições. Como x=0 e y=0 e z é livre, todo vetor do núcleo tem a forma
(0,0,z)=z(0,0,1),\quad z\in\mathbb{R}.
Logo o núcleo é a reta gerada pelo vetor (0,0,1), isto é, \ker(T)=\operatorname{span}\{(0,0,1)\}. O espaço tem dimensão 1 (nullidade =1).

Passo 4

Definição e método para a imagem. Por definição,
\operatorname{Im}(T)=\{T(v)\in\mathbb{R}^3 \mid v\in\mathbb{R}^3\}.
Uma forma prática de encontrar a imagem é ver a ação sobre a base canônica. Tome os vetores da base padrão:
e_1=(1,0,0),\qquad e_2=(0,1,0),\qquad e_3=(0,0,1).
Calcule T em cada um:
T(e_1)=T(1,0,0)=(1,0,0),
T(e_2)=T(0,1,0)=(0,1,0),
T(e_3)=T(0,0,1)=(0,0,0).

Passo 5

Concluir a imagem a partir das imagens da base. Observamos que os vetores (1,0,0) e (0,1,0) aparecem como imagens, e (0,0,0) não acrescenta geradores. Portanto a imagem é o subespaço gerado por (1,0,0) e (0,1,0):
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}.
Este é o plano z=0 em \mathbb{R}^3, e tem dimensão 2 (posto =2).

Passo 6

Verificação pela fórmula do posto-nulidade. A dimensão do espaço de origem é 3. Temos nullidade =1 e posto =2, e de fato
\text{nullidade}+\text{posto}=1+2=3,
o que confirma a consistência dos resultados.

Resposta

(a) \ker(T)=\operatorname{span}\{(0,0,1)\}
(b) \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}

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