Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a transformação linear definida por T(x, y, z)=(x+y, 2 x-z).
(a) Determine o núcleo de T.
(b) Determine a imagem de T.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y,z)=(x+y,\,2x-z).
As perguntas são:
(a) determinar o núcleo de T (conjunto de vetores de \mathbb{R}^3 que T manda em (0,0)\in\mathbb{R}^2);
(b) determinar a imagem de T (conjunto de vetores de \mathbb{R}^2 que são valores de T para algum vetor em \mathbb{R}^3).

Passo 2

Definição e estratégia para o núcleo. O núcleo de T é
\ker(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid T(x,y,z)=(0,0)\}.
Para encontrar \ker(T) resolvo o sistema linear obtido impondo T(x,y,z)=(0,0). Isso dá equações em x,y,z que vou resolver passo a passo.

Passo 3

Impondo T(x,y,z)=(0,0)\) obtemos o sistema \[\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] 2x-z=0. \end{cases}
Resolvo esse sistema: da primeira equação vem y=-x\]. Da segunda vem \(z=2x. Posso tomar x como parâmetro livre, escrevendo x=t com t\in\mathbb{R}. Assim
(x,y,z)=(t,\,-t,\,2t)=t\,(1,-1,2).
Portanto todos os vetores do núcleo são múltiplos escalares de (1,-1,2).]

Passo 4

Conclusão sobre o núcleo: \ker(T) é a reta gerada por (1,-1,2). Em notação de subespaço:
\ker(T)=\operatorname{span}\{(1,-1,2)\}.
Uma base de \ker(T) é \{(1,-1,2)\} e \dim(\ker(T))=1.

Passo 5

Definição e estratégia para a imagem. A imagem de T é
\operatorname{Im}(T)=\{T(x,y,z)\in\mathbb{R}^2 \mid (x,y,z)\in\mathbb{R}^3\}.
Uma maneira prática de encontrá-la é ver T aplicada aos vetores da base canônica de \mathbb{R}^3, pois a imagem é o span das colunas da matriz de T nessa base.

Passo 6

Calculo T nas três colunas da base canônica:
T(1,0,0)=(1,2),\qquad T(0,1,0)=(1,0),\qquad T(0,0,1)=(0,-1).
Portanto
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,2),\,(1,0),\,(0,-1)\}.

Passo 7

Verifico se esses vetores geram todo \mathbb{R}^2 ou um subespaço próprio. Já é suficiente observar dois deles: por exemplo (1,2) e (1,0). Calculo o determinante da matriz 2\times2 formada por essas duas colunas:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix}=1\cdot 0 - 1\cdot 2 = -2 \neq 0.
Determinante não nulo significa que (1,2) e (1,0) são linearmente independentes em \mathbb{R}^2; então elas formam uma base de \mathbb{R}^2. Logo o span delas é todo \mathbb{R}^2. Assim qualquer outro vetor de \mathbb{R}^2 (por exemplo (0,1)) pode ser escrito como combinação linear dessas duas colunas.]

Passo 8

Conclusção sobre a imagem: como já existem duas colunas linearmente independentes em \mathbb{R}^2, tem-se \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2. Em termos de base, por exemplo \{(1,2),(1,0)\} é uma base de \operatorname{Im}(T) e \dim(\operatorname{Im}(T))=2.

Resposta

(a) \ker(T)=\operatorname{span}\{(1,-1,2)\}.
(b) \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2.

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