Seja
a transformação linear definida por
.
(a) Determine o núcleo de
.
(b) Determine a imagem de
.
(a) Determine o núcleo de
(b) Determine a imagem de
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
As perguntas são:
(a) determinar o núcleo de (conjunto de vetores de
que
manda em
);
(b) determinar a imagem de (conjunto de vetores de
que são valores de
para algum vetor em
).
(a) determinar o núcleo de
(b) determinar a imagem de
Passo 2
Definição e estratégia para o núcleo. O núcleo de
é
Para encontrar
resolvo o sistema linear obtido impondo
. Isso dá equações em
que vou resolver passo a passo.
Passo 3
Impondo
Resolvo esse sistema: da primeira equação vem
. Posso tomar
como parâmetro livre, escrevendo
com
. Assim
Portanto todos os vetores do núcleo são múltiplos escalares de
.]
Passo 4
Conclusão sobre o núcleo:
é a reta gerada por
. Em notação de subespaço:
Uma base de
é
e
.
Passo 5
Definição e estratégia para a imagem. A imagem de
é
Uma maneira prática de encontrá-la é ver
aplicada aos vetores da base canônica de
, pois a imagem é o span das colunas da matriz de
nessa base.
Passo 6
Calculo
nas três colunas da base canônica:
Portanto
Passo 7
Verifico se esses vetores geram todo
ou um subespaço próprio. Já é suficiente observar dois deles: por exemplo
e
. Calculo o determinante da matriz
formada por essas duas colunas:
Determinante não nulo significa que
e
são linearmente independentes em
; então elas formam uma base de
. Logo o span delas é todo
. Assim qualquer outro vetor de
(por exemplo
) pode ser escrito como combinação linear dessas duas colunas.]
Passo 8
Conclusção sobre a imagem: como já existem duas colunas linearmente independentes em
, tem-se
. Em termos de base, por exemplo
é uma base de
e
.
Resposta
(a)
.
(b)
.