Seja T: P_{2} \rightarrow P_{3} a transformação linear definida por T(p(t))=t p(t). Quais dos seguintes vetores estão na imagem de T ?
(a) t^{2}
(b) 0
(c) t+1
(d) t^{2}-2 t

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: P_{2}\to P_{3} definida por T(p(t))=t\,p(t). Pergunta-se quais dos vetores abaixo pertencem à imagem de T:
(a) t^{2}
(b) 0
(c) t+1
(d) t^{2}-2t

Passo 2

Vamos fixar o que isto significa, de forma bem direta.
  • P_{2} é o espaço dos polinômios com coeficientes reais de grau no máximo 2. Ou seja, um elemento genérico de P_{2} tem a forma \,p(t)=a + b t + c t^{2} com a,b,c\in\mathbb{R}.
  • P_{3} é o espaço dos polinômios de grau no máximo 3.
  • A imagem de T, escrita \operatorname{Im}(T), é o conjunto de todos os polinômios em P_{3} que podem ser escritos como t\,p(t) para algum p\in P_{2}. Em linguagem prática: dado um polinômio q(t)\in P_{3}, ele está na imagem de T se e somente se existir p(t)\in P_{2} tal que t\,p(t)=q(t).

Passo 3

Caracterização explícita da imagem. Tome um polinômio genérico em P_{2},
p(t)=a + b t + c t^{2}.
Aplicando T obtemos
T(p(t))=t\,p(t)=a t + b t^{2} + c t^{3}.
Portanto todo elemento da imagem tem a forma
a t + b t^{2} + c t^{3},
ou seja, é um polinômio em P_{3} cujo termo constante (coeficiente de t^{0}) é zero. Reciprocamente, qualquer polinômio q(t)\in P_{3} que não tenha termo constante pode ser escrito como q(t)=t\cdot p(t) com p(t)\in P_{2} (basta dividir por t). Conclusão útil e prática: um polinômio q(t) pertence à \operatorname{Im}(T) exatamente quando o coeficiente de t^{0} em q(t) é zero (ou seja, o valor q(0)=0).

Passo 4

Verificando a opção (a) \,t^{2}.
Podemos escrever \,t^{2}=t\cdot t. Então tomando p(t)=t (que pertence a P_{2}) temos T(p(t))=t^{2}. Logo \,t^{2} pertence à imagem de T.

Passo 5

Verificando a opção (b) 0 (o polinômio zero).
Sempre vale T(0)=t\cdot 0=0. Assim o polinômio zero está na imagem de T.

Passo 6

Verificando a opção (c) \,t+1.
Observe que (t+1)(0)=1, ou seja, o coeficiente constante é 1\neq 0. Pela caracterização do Passo 3, todo polinômio na imagem tem termo constante zero. Portanto \,t+1 não pode ser escrito como t\,p(t) com p\in P_{2}, logo \,t+1 NÃO pertence à imagem de T.

Passo 7

Verificando a opção (d) \,t^{2}-2t.
Fatorando, \,t^{2}-2t = t\,(t-2). Tomando p(t)=t-2, que é um polinômio em P_{2}, obtemos T(p(t))=t^{2}-2t. Logo \,t^{2}-2t pertence à imagem de T.

Resposta

(a) pertence à imagem.
(b) pertence à imagem.
(c) não pertence à imagem.
(d) pertence à imagem.

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