Seja
a transformação linear definida por
. Quais dos seguintes vetores estão na imagem de
?
(a)
(b) 0
(c)
(d)
(a)
(b) 0
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
. Pergunta-se quais dos vetores abaixo pertencem à imagem de
:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 2
Vamos fixar o que isto significa, de forma bem direta.
-
é o espaço dos polinômios com coeficientes reais de grau no máximo . Ou seja, um elemento genérico de tem a forma com . -
é o espaço dos polinômios de grau no máximo . - A imagem de
, escrita , é o conjunto de todos os polinômios em que podem ser escritos como para algum . Em linguagem prática: dado um polinômio , ele está na imagem de se e somente se existir tal que .
Passo 3
Caracterização explícita da imagem. Tome um polinômio genérico em
,
Aplicando
obtemos
Portanto todo elemento da imagem tem a forma
ou seja, é um polinômio em
cujo termo constante (coeficiente de
) é zero. Reciprocamente, qualquer polinômio
que não tenha termo constante pode ser escrito como
com
(basta dividir por
). Conclusão útil e prática: um polinômio
pertence à
exatamente quando o coeficiente de
em
é zero (ou seja, o valor
).
Passo 4
Verificando a opção (a)
.
Podemos escrever . Então tomando
(que pertence a
) temos
. Logo
pertence à imagem de
.
Podemos escrever
Passo 5
Verificando a opção (b)
(o polinômio zero).
Sempre vale . Assim o polinômio zero está na imagem de
.
Sempre vale
Passo 6
Verificando a opção (c)
.
Observe que , ou seja, o coeficiente constante é
. Pela caracterização do Passo 3, todo polinômio na imagem tem termo constante zero. Portanto
não pode ser escrito como
com
, logo
NÃO pertence à imagem de
.
Observe que
Passo 7
Verificando a opção (d)
.
Fatorando, . Tomando
, que é um polinômio em
, obtemos
. Logo
pertence à imagem de
.
Fatorando,
Resposta
(a) pertence à imagem.
(b) pertence à imagem.
(c) não pertence à imagem.
(d) pertence à imagem.
(b) pertence à imagem.
(c) não pertence à imagem.
(d) pertence à imagem.