Seja V=\left\{(a, b, c, d, e) \in \mathbb{R}^{5} \mid a=2 b+c-e\right\}. É correto afirmar que:
a) Se B \subseteq V contém 4 vetores e gera V então B não é uma base de V.
b) Se B \subseteq V contém 5 vetores e gera V então B é uma base de V.
c) Se B \subseteq V contém 2 vetores LI então B é uma base de V.
d) Se B \subseteq V contém 3 vetores LI então B não é uma base de V.
e) Se B \subseteq V contém 1 vetor LI então B é uma base de V.

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço
V=\{(a,b,c,d,e)\in\mathbb{R}^5 \mid a=2b+c-e\}.
São oferecidas cinco afirmações (a)–(e) sobre conjuntos B\subseteq V e é pedido dizer quais são corretas. Vou analisar cada informação relevante dada:
  • A condição do subespaço é a única restrição linear entre as cinco coordenadas: a-2b-c+e=0.
  • Não há outras restrições fornecidas sobre B além do que cada alternativa diz (por exemplo, em (a) diz-se que B contém 4 vetores e gera V, etc.).
  • A pergunta implícita é: quais das afirmações (a)–(e) são verdadeiras considerando as propriedades de dimensão, geradores e independência linear.

Passo 2

Determinar a dimensão de V. Explicar passo a passo por que ela vale 4.
A condição a=2b+c-e é uma única equação linear independente entre as cinco coordenadas. Em termos de graus de liberdade: de cinco coordenadas livres, a equação impõe uma restrição, sobrando quatro graus de liberdade. Portanto a dimensão de V é 4.
Para tornar isso concreto, escrevemos um vetor genérico de V em função de parâmetros livres. Tomemos b,c,d,e como parâmetros livres. Então
a=2b+c-e,
portanto um vetor genérico é
(a,b,c,d,e)=(2b+c-e,\;b,\;c,\;d,\;e).
Colocando em forma de combinação linear em função de b,c,d,e:
( a,b,c,d,e ) = b\,(2,1,0,0,0) + c\,(1,0,1,0,0) + d\,(0,0,0,1,0) + e\,(-1,0,0,0,1).
Assim, os quatro vetores
v_1=(2,1,0,0,0),\quad v_2=(1,0,1,0,0),\quad v_3=(0,0,0,1,0),\quad v_4=(-1,0,0,0,1)
geram V. Eles são linearmente independentes (cada parâmetro b,c,d,e aparece com coeficiente distinto), logo formam uma base de V. Conclusão:
\dim(V)=4.

Passo 3

Relembrar resultados fundamentais de espaços vetoriais finito-dimensionais (com explicações simples):
  • Definição útil: uma base de um espaço de dimensão n é um conjunto de exatamente n vetores que são linearmente independentes (LI) e que geram todo o espaço.
  • Teorema prático 1: Num espaço vetorial de dimensão n, qualquer conjunto de vetores que gera o espaço e tem exatamente n elementos é automaticamente uma base (porque um gerador com n elementos em espaço de dimensão n tem de ser LI).
  • Teorema prático 2: Num espaço de dimensão n, qualquer conjunto LI com exatamente n vetores é uma base (porque vetores LI suficientes em número n geram o espaço).
  • Consequência:
    • Qualquer conjunto gerador com mais de n vetores é necessariamente linearmente dependente, logo não é base (a menos que se retirem vetores redundantes).
    • Qualquer conjunto LI com menos de n vetores não é base (pois não gera o espaço inteiro).
Esses resultados são fundamentais e fáceis de lembrar: dimensão = número de vetores em qualquer base; gerador com exatamente esse número → base; LI com menos desse número → insuficiente; gerador com mais → redundância.

Passo 4

Avaliar a alternativa (a):
(a) “Se B\subseteq V contém 4 vetores e gera V então B não é uma base de V.”
  • Sabemos que \dim(V)=4.
  • Um conjunto que gera V e tem exatamente 4=\dim(V) vetores é, pelo Teorema prático 1, uma base de V.
  • Logo a afirmação que diz que tal B “não é uma base” é falsa.
Portanto (a) é falsa.

Passo 5

Avaliar a alternativa (b):
(b) “Se B\subseteq V contém 5 vetores e gera V então B é uma base de V.”
  • Novamente \dim(V)=4.
  • Um conjunto gerador com 5 vetores (mais que a dimensão) é necessariamente linearmente dependente: há redundância. Um conjunto dependente não é base.
  • Logo não é garantido que B seja uma base — na verdade, com 5 vetores gerando um espaço de dimensão 4, B não pode ser uma base (a não ser que se retire algum vetor redundante; mas como está, com 5 vetores, é dependente).
  • Portanto (b) é falsa.

Passo 6

Avaliar a alternativa (c):
(c) “Se B\subseteq V contém 2 vetores LI então B é uma base de V.”
  • Uma base de V precisa ter 4 vetores LI (porque \dim(V)=4).
  • Ter apenas 2 vetores LI (ou conter exatamente 2 vetores LI) é insuficiente: esses dois vetores não podem gerar todo V (faltam direções). Mesmo sendo LI, serão no máximo um subespaço de dimensão 2.
  • Portanto (c) é falsa.

Passo 7

Avaliar a alternativa (d):
(d) “Se B\subseteq V contém 3 vetores LI então B não é uma base de V.”
  • Se interpretarmos a frase no sentido natural “o conjunto B tem exatamente 3 vetores e esses são LI” (isto é, |B|=3 e são LI), então B não pode ser uma base porque uma base precisa ter 4 vetores LI. Assim, sob essa leitura, a afirmação é verdadeira.
  • (Observação sobre ambiguidade comum: se alguém ler “contém 3 vetores LI” no sentido que B tem pelo menos 3 vetores LI porém pode ter outros além desses, então não se pode garantir nada — B poderia ser estendido a uma base ou já conter um quarto vetor LI fazendo com que o conjunto inteiro seja base. Mas o enunciado, nesse tipo de questão, costuma significar que o conjunto B possui exatamente os vetores mencionados.)
  • Usando a leitura habitual (conjunto de três vetores LI), concluímos: como \dim(V)=4, qualquer conjunto com apenas 3 vetores LI não é base. Logo (d) é verdadeira sob a leitura natural do enunciado.

Passo 8

Avaliar a alternativa (e):
(e) “Se B\subseteq V contém 1 vetor LI então B é uma base de V.”
  • Um único vetor LI (ou conjunto de um vetor não nulo) gera no máximo uma reta (subespaço de dimensão 1), muito longe de gerar todo V de dimensão 4.
  • Portanto (e) é falsa.

Passo 9

Resumo dos resultados e justificativa final curta:
  • \dim(V)=4.
  • (a) Falsa: um gerador com 4 vetores em espaço de dimensão 4 é base.
  • (b) Falsa: um gerador com 5 vetores é dependente, logo não é base.
  • (c) Falsa: 2 vetores LI não chegam para formar base em dimensão 4.
  • (d) Verdadeira (na leitura natural de que B tem exatamente 3 vetores LI): 3 vetores LI não formam base em dimensão 4.
  • (e) Falsa: 1 vetor LI não é base em dimensão 4.

Resposta

(d)

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