Seja
. É correto afirmar que:
a) Se
contém 4 vetores e gera
então
não é uma base de
.
b) Se
contém 5 vetores e gera
então
é uma base de
.
c) Se
contém 2 vetores LI então
é uma base de
.
d) Se
contém 3 vetores LI então
não é uma base de
.
e) Se
contém 1 vetor LI então
é uma base de
.
a) Se
b) Se
c) Se
d) Se
e) Se
Passo 1
O enunciado nos dá o subespaço
São oferecidas cinco afirmações (a)–(e) sobre conjuntos
e é pedido dizer quais são corretas. Vou analisar cada informação relevante dada:
- A condição do subespaço é a única restrição linear entre as cinco coordenadas:
. - Não há outras restrições fornecidas sobre
além do que cada alternativa diz (por exemplo, em (a) diz-se que contém 4 vetores e gera , etc.). - A pergunta implícita é: quais das afirmações (a)–(e) são verdadeiras considerando as propriedades de dimensão, geradores e independência linear.
Passo 2
Determinar a dimensão de
. Explicar passo a passo por que ela vale 4.
A condição
é uma única equação linear independente entre as cinco coordenadas. Em termos de graus de liberdade: de cinco coordenadas livres, a equação impõe uma restrição, sobrando quatro graus de liberdade. Portanto a dimensão de
é 4.
Para tornar isso concreto, escrevemos um vetor genérico de
em função de parâmetros livres. Tomemos
como parâmetros livres. Então
portanto um vetor genérico é
Colocando em forma de combinação linear em função de
:
Assim, os quatro vetores
geram
. Eles são linearmente independentes (cada parâmetro
aparece com coeficiente distinto), logo formam uma base de
. Conclusão:
Passo 3
Relembrar resultados fundamentais de espaços vetoriais finito-dimensionais (com explicações simples):
- Definição útil: uma base de um espaço de dimensão
é um conjunto de exatamente vetores que são linearmente independentes (LI) e que geram todo o espaço. - Teorema prático 1: Num espaço vetorial de dimensão
, qualquer conjunto de vetores que gera o espaço e tem exatamente elementos é automaticamente uma base (porque um gerador com elementos em espaço de dimensão tem de ser LI). - Teorema prático 2: Num espaço de dimensão
, qualquer conjunto LI com exatamente vetores é uma base (porque vetores LI suficientes em número geram o espaço). - Consequência:
- Qualquer conjunto gerador com mais de
vetores é necessariamente linearmente dependente, logo não é base (a menos que se retirem vetores redundantes). - Qualquer conjunto LI com menos de
vetores não é base (pois não gera o espaço inteiro).
- Qualquer conjunto gerador com mais de
Esses resultados são fundamentais e fáceis de lembrar: dimensão
número de vetores em qualquer base; gerador com exatamente esse número → base; LI com menos desse número → insuficiente; gerador com mais → redundância.
Passo 4
Avaliar a alternativa (a):
(a) “Se
contém 4 vetores e gera
então
não é uma base de
.”
- Sabemos que
. - Um conjunto que gera
e tem exatamente vetores é, pelo Teorema prático 1, uma base de . - Logo a afirmação que diz que tal
“não é uma base” é falsa.
Portanto (a) é falsa.
Passo 5
Avaliar a alternativa (b):
(b) “Se
contém 5 vetores e gera
então
é uma base de
.”
- Novamente
. - Um conjunto gerador com
vetores (mais que a dimensão) é necessariamente linearmente dependente: há redundância. Um conjunto dependente não é base. - Logo não é garantido que
seja uma base — na verdade, com vetores gerando um espaço de dimensão , não pode ser uma base (a não ser que se retire algum vetor redundante; mas como está, com 5 vetores, é dependente). - Portanto (b) é falsa.
Passo 6
Avaliar a alternativa (c):
(c) “Se
contém 2 vetores LI então
é uma base de
.”
- Uma base de
precisa ter vetores LI (porque ). - Ter apenas
vetores LI (ou conter exatamente 2 vetores LI) é insuficiente: esses dois vetores não podem gerar todo (faltam direções). Mesmo sendo LI, serão no máximo um subespaço de dimensão . - Portanto (c) é falsa.
Passo 7
Avaliar a alternativa (d):
(d) “Se
contém 3 vetores LI então
não é uma base de
.”
- Se interpretarmos a frase no sentido natural “o conjunto
tem exatamente 3 vetores e esses são LI” (isto é, e são LI), então não pode ser uma base porque uma base precisa ter 4 vetores LI. Assim, sob essa leitura, a afirmação é verdadeira. - (Observação sobre ambiguidade comum: se alguém ler “contém 3 vetores LI” no sentido que
tem pelo menos 3 vetores LI porém pode ter outros além desses, então não se pode garantir nada — poderia ser estendido a uma base ou já conter um quarto vetor LI fazendo com que o conjunto inteiro seja base. Mas o enunciado, nesse tipo de questão, costuma significar que o conjunto possui exatamente os vetores mencionados.) - Usando a leitura habitual (conjunto de três vetores LI), concluímos: como
, qualquer conjunto com apenas 3 vetores LI não é base. Logo (d) é verdadeira sob a leitura natural do enunciado.
Passo 8
Avaliar a alternativa (e):
(e) “Se
contém 1 vetor LI então
é uma base de
.”
- Um único vetor LI (ou conjunto de um vetor não nulo) gera no máximo uma reta (subespaço de dimensão
), muito longe de gerar todo de dimensão . - Portanto (e) é falsa.
Passo 9
Resumo dos resultados e justificativa final curta:
-
. - (a) Falsa: um gerador com 4 vetores em espaço de dimensão 4 é base.
- (b) Falsa: um gerador com 5 vetores é dependente, logo não é base.
- (c) Falsa: 2 vetores LI não chegam para formar base em dimensão 4.
- (d) Verdadeira (na leitura natural de que
tem exatamente 3 vetores LI): 3 vetores LI não formam base em dimensão 4. - (e) Falsa: 1 vetor LI não é base em dimensão 4.
Resposta
(d)