Seja a variável aleatória x contínua e definida com igual probabilidade, no intervalo x \in[0, \pi]. Obtenha:
\bar{x}

Passo 1

O enunciado dá que a variável aleatória x é contínua e tem “igual probabilidade” no intervalo x \in[0,\pi]. Ou seja:
  • Domínio: x varia entre 0 e \pi.
  • A densidade de probabilidade é constante nesse intervalo (uniforme).
    A pergunta é: obter \bar{x} (a média / valor esperado de x).

Passo 2

Precisamos escrever a função densidade de probabilidade f(x). Para uma distribuição uniforme em [0,\pi] a densidade é constante em todo o intervalo e zero fora. Chamo essa constante de c. A condição de normalização (a probabilidade total vale 1) é
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Aqui f(x)=c para 0\le x\le\pi e f(x)=0 fora. Portanto a normalização vira
\int_{0}^{\pi} c\,dx = 1.
Calculando a integral:
c\cdot (\pi-0)=1 \quad\Rightarrow\quad c=\frac{1}{\pi}.
Logo a densidade é
f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{\pi}, & 0\le x\le\pi,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

Passo 3

Agora a definição do valor esperado (média) para uma variável contínua X com densidade f(x) é
\bar{x}=E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Aqui x é a variável que estamos somando (pesando) e f(x) é a densidade que indica quanto cada x contribui. No nosso caso somente o intervalo [0,\pi] contribui, e f(x)=1/\pi ali.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
\bar{x}= \int_{0}^{\pi} x\cdot \frac{1}{\pi}\,dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\,dx.
Calculo a integral \int_{0}^{\pi} x\,dx. A primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}, então
\int_{0}^{\pi} x\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi^{2}}{2}-0 = \frac{\pi^{2}}{2}.
Substituindo:
\bar{x} = \frac{1}{\pi}\cdot \frac{\pi^{2}}{2} = \frac{\pi}{2}.

Passo 5

Intuição rápida (útil na prova): para uma distribuição uniforme em um intervalo [a,b] a média é sempre o ponto médio \dfrac{a+b}{2}. Aqui isso dá \dfrac{0+\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}, confirmando o resultado calculado.

Resposta

\bar{x}=\dfrac{\pi}{2}

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