Seja a variável aleatória x contínua e definida com igual probabilidade, no intervalo x \in[0, \pi]. Obtenha: \bar{x}
Passo 1
O enunciado dá que a variável aleatória x é contínua e tem “igual probabilidade” no intervalo x \in[0,\pi]. Ou seja:
Domínio: x varia entre 0 e \pi.
A densidade de probabilidade é constante nesse intervalo (uniforme).
A pergunta é: obter \bar{x} (a média / valor esperado de x).
Passo 2
Precisamos escrever a função densidade de probabilidade f(x). Para uma distribuição uniforme em [0,\pi] a densidade é constante em todo o intervalo e zero fora. Chamo essa constante de c. A condição de normalização (a probabilidade total vale 1) é
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Aqui f(x)=c para 0\le x\le\pi e f(x)=0 fora. Portanto a normalização vira
Agora a definição do valor esperado (média) para uma variável contínua X com densidade f(x) é
\bar{x}=E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Aqui x é a variável que estamos somando (pesando) e f(x) é a densidade que indica quanto cada x contribui. No nosso caso somente o intervalo [0,\pi] contribui, e f(x)=1/\pi ali.
Intuição rápida (útil na prova): para uma distribuição uniforme em um intervalo [a,b] a média é sempre o ponto médio \dfrac{a+b}{2}. Aqui isso dá \dfrac{0+\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}, confirmando o resultado calculado.