Seja a variável aleatória x contínua e definida com igual probabilidade, no intervalo x \in[0, \pi]. Obtenha: \overline{\cos ^{2}(x)}
Passo 1
O enunciado dá que a variável aleatória x é contínua e tem distribuição com igual probabilidade (uniforme) no intervalo [0,\pi]. O que se pede é a média (valor esperado) de \cos^{2}(x), escrita aqui como \overline{\cos^{2}(x)}.
Informações relevantes fornecidas:
O domínio de x é [0,\pi].
A densidade de probabilidade de x será a da distribuição uniforme no intervalo dado (essa densidade será usada na integral do valor esperado).
O pedido: calcular \overline{\cos^{2}(x)}.
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo).
Para uma variável contínua x\) com densidade de probabilidade \(f(x)\), o valor esperado de uma função \(g(x)\) é
\[\mathbb{E}[g(x)]=\int_{-\infty}^{\infty} g(x)\,f(x)\,dx.
Aqui g(x) é a função cujo valor médio queremos (no nosso caso g(x)=\cos^{2}(x)). A função f(x) é a densidade; para a distribuição uniforme em [a,b] vale
f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & x\in[a,b],\\[6pt] 0, & \text{fora de }[a,b]. \end{cases}
No nosso problema a=0\] e \(b=\pi, portanto a densidade é f(x)=\dfrac{1}{\pi} para x\in[0,\pi].]
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
Queremos \overline{\cos^{2}(x)}=\mathbb{E}[\cos^{2}(x)]. Pelo item anterior,
A integral de \cos(2x): a primitiva de \cos(2x) é \dfrac{1}{2}\sin(2x) porque derivando \dfrac{1}{2}\sin(2x) obtém-se \dfrac{1}{2}\cdot 2\cos(2x)=\cos(2x). Assim
Interpretação rápida e motivação intuitiva (para lembrar na prova).
O resultado \dfrac{1}{2} significa que, ao tirar a média de \cos^{2}(x) com x uniformemente distribuído em um intervalo que contém exatamente metade ou múltiplas inteiras de um período do \cos(2x), a contribuição oscilatória de \cos(2x) se anula e sobra a média do termo constante \tfrac{1}{2}. Esse é um fato útil para lembrar: o valor médio de \cos^{2} sobre um período é \tfrac{1}{2}.