Seja a variável aleatória x contínua e definida com igual probabilidade, no intervalo x \in[0, \pi]. Obtenha:
\overline{\cos ^{2}(x)}

Passo 1

O enunciado dá que a variável aleatória x é contínua e tem distribuição com igual probabilidade (uniforme) no intervalo [0,\pi]. O que se pede é a média (valor esperado) de \cos^{2}(x), escrita aqui como \overline{\cos^{2}(x)}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O domínio de x é [0,\pi].
  • A densidade de probabilidade de x será a da distribuição uniforme no intervalo dado (essa densidade será usada na integral do valor esperado).
  • O pedido: calcular \overline{\cos^{2}(x)}.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo).
Para uma variável contínua x\) com densidade de probabilidade \(f(x)\), o valor esperado de uma função \(g(x)\) é \[\mathbb{E}[g(x)]=\int_{-\infty}^{\infty} g(x)\,f(x)\,dx.
Aqui g(x) é a função cujo valor médio queremos (no nosso caso g(x)=\cos^{2}(x)). A função f(x) é a densidade; para a distribuição uniforme em [a,b] vale
f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & x\in[a,b],\\[6pt] 0, & \text{fora de }[a,b]. \end{cases}
No nosso problema a=0\] e \(b=\pi, portanto a densidade é f(x)=\dfrac{1}{\pi} para x\in[0,\pi].]

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
Queremos \overline{\cos^{2}(x)}=\mathbb{E}[\cos^{2}(x)]. Pelo item anterior,
\overline{\cos^{2}(x)}=\int_{0}^{\pi} \cos^{2}(x)\cdot \frac{1}{\pi}\,dx.
Como \dfrac{1}{\pi} é constante, podemos escrevê-la fora da integral:
\overline{\cos^{2}(x)}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos^{2}(x)\,dx.

Passo 4

Simplificar a integral usando uma identidade trigonométrica (explicada).
A identidade de ângulo duplo para o cosseno é
\cos(2x)=2\cos^{2}(x)-1.
Rearranjando para isolar \cos^{2}(x) obtém-se
\cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Essa identidade é útil porque transforma o quadrado em soma de termos mais fáceis de integrar.

Passo 5

Substituir a identidade na integral e calcular explicitamente (passo a passo das integrais).
Substituindo \cos^{2}(x)=\dfrac{1+\cos(2x)}{2} em \dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos^{2}(x)\,dx
\overline{\cos^{2}(x)}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx = \frac{1}{2\pi}\left(\int_{0}^{\pi} 1\,dx + \int_{0}^{\pi}\cos(2x)\,dx\right).
Calcular cada integral separadamente:
  1. A integral do 1:
\int_{0}^{\pi} 1\,dx = \left[x\right]_{0}^{\pi} = \pi.
  1. A integral de \cos(2x): a primitiva de \cos(2x) é \dfrac{1}{2}\sin(2x) porque derivando \dfrac{1}{2}\sin(2x) obtém-se \dfrac{1}{2}\cdot 2\cos(2x)=\cos(2x). Assim
\int_{0}^{\pi}\cos(2x)\,dx = \left[\frac{1}{2}\sin(2x)\right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2}\big(\sin(2\pi)-\sin(0)\big)=\frac{1}{2}(0-0)=0.
Portanto voltando à expressão:
\overline{\cos^{2}(x)}=\frac{1}{2\pi}\big(\pi + 0\big)=\frac{1}{2}.

Passo 6

Interpretação rápida e motivação intuitiva (para lembrar na prova).
O resultado \dfrac{1}{2} significa que, ao tirar a média de \cos^{2}(x) com x uniformemente distribuído em um intervalo que contém exatamente metade ou múltiplas inteiras de um período do \cos(2x), a contribuição oscilatória de \cos(2x) se anula e sobra a média do termo constante \tfrac{1}{2}. Esse é um fato útil para lembrar: o valor médio de \cos^{2} sobre um período é \tfrac{1}{2}.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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