Seja a variável aleatória x contínua e definida com igual probabilidade, no intervalo x \in[0, \pi]. Obtenha:
\overline{\operatorname{sen}^{2}(x)}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
  • A variável aleatória x é contínua e tem distribuição uniforme no intervalo [0,\pi].
  • Pedido: calcular a média (valor esperado) de \operatorname{sen}^{2}(x), ou seja \overline{\operatorname{sen}^{2}(x)}.

Passo 2

Lembrete importante sobre média (valor esperado) de uma função de uma variável contínua uniforme. Se X é uniforme em [a,b], a densidade de probabilidade é
f_X(x)=\frac{1}{b-a}\quad\text{para }x\in[a,b].
O valor esperado de uma função g(X) é
\mathbb{E}[g(X)]=\int_a^b g(x)\,f_X(x)\,dx=\frac{1}{b-a}\int_a^b g(x)\,dx.
Aqui cada termo significa:
  • g(x): a função cujo valor médio queremos (no nosso caso g(x)=\operatorname{sen}^2(x));
  • f_X(x): densidade de probabilidade (constante para uniforme);
  • \mathbb{E}[g(X)]: média/esperança de g(X).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso com a=0, b=\pi e g(x)=\operatorname{sen}^2(x), obtemos
\overline{\operatorname{sen}^{2}(x)}=\mathbb{E}[\operatorname{sen}^2(x)] =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}^2(x)\,dx.

Passo 4

Para integrar \operatorname{sen}^2(x) é confortável usar a identidade trigonométrica (que vem da fórmula do cosseno do ângulo duplo):
\operatorname{sen}^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}.
Essa identidade é útil porque transforma o quadrado da seno numa soma simples de funções fáceis de integrar.

Passo 5

Substituindo a identidade na integral:
\overline{\operatorname{sen}^{2}(x)}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos(2x)}{2}\,dx =\frac{1}{2\pi}\left(\int_{0}^{\pi}1\,dx-\int_{0}^{\pi}\cos(2x)\,dx\right).
Agora calculo cada integral:
\int_{0}^{\pi}1\,dx=\pi,
\int_{0}^{\pi}\cos(2x)\,dx=\left.\frac{\sin(2x)}{2}\right|_{0}^{\pi}=\frac{\sin(2\pi)-\sin(0)}{2}=0.
Logo
\overline{\operatorname{sen}^{2}(x)}=\frac{1}{2\pi}\bigl(\pi-0\bigr)=\frac{1}{2}.

Passo 6

Interpretação rápida e motivadora: a média de \operatorname{sen}^2(x) quando x percorre [0,\pi] com probabilidade uniforme é 1/2. Isso faz sentido porque \operatorname{sen}^2 oscila simetricamente e sua média sobre um semiperíodo vale 1/2. Boa — está feito!

Resposta

\dfrac{1}{2}

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