Seja
uma variável com distribuição normal padrão. Calcule:
;
Passo 1
O enunciado dá claramente:
- Uma variável aleatória
com distribuição normal padrão (ou seja, média e variância ). - Pede para calcular
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Queremos o valor da função de distribuição acumulada da normal padrão no ponto
. - Em notação usual, isso é
, onde
Passo 2
O que é a distribuição normal padrão e como se define a probabilidade pedida:
- A densidade da normal padrão é
- A função de distribuição acumulada (CDF) é
- A probabilidade que o enunciado pede é exatamente
, isto é
Observação importante (para a prova): essa integral não tem primitiva elementar, por isso usa-se tabela da normal padrão (tabela
), calculadora estatística ou a função erro
. Vou mostrar a maneira prática com tabela, que é a mais comum em provas sem software.
Passo 3
Como usar a tabela da normal padrão (passo a passo, do jeitinho da prova):
- As tabelas normalmente dão
para positivos, organizadas por linha para a parte inteira e a primeira casa decimal (ex.: ) e por coluna para a segunda casa decimal (ex.: ). - Para
localiza-se a linha e a coluna . A interseção dá . - Se a prova cobrar o raciocínio: para
não precisamos usar simetria; apenas ler a tabela. (Se fosse poderia usar .)
Passo 4
Leitura na tabela (execução prática):
- Procurando na tabela da normal padrão para
(linha , coluna ) encontra-se o valor
(Essa é a forma padrão de apresentar o resultado: probabilidade acumulada até
.)
Passo 5
Verificação alternativa rápida e intuição:
- Podemos checar a consistência lembrando que
e será um pouco maior; então faz sentido. - Também há a relação com a função erro:
mas em prova sem calculadora a leitura na tabela é o caminho prático.
Passo 6
Interpretação final e dica de prova:
- O valor
significa que a probabilidade de ser menor que é . - Dica: memorize algumas entradas comuns da tabela (ex.:
, , ) — isso ajuda muito em provas rápidas.