Seja Z uma variável com distribuição normal padrão. Calcule:
\mathrm{P}(\mathrm{Z}<1,65);

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • Uma variável aleatória Z com distribuição normal padrão (ou seja, média 0 e variância 1).
  • Pede para calcular \mathrm{P}(\mathrm{Z}<1,65).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Queremos o valor da função de distribuição acumulada da normal padrão no ponto z=1,65.
  • Em notação usual, isso é \Phi(1,65), onde
\Phi(z)=\mathrm{P}(Z\le z).

Passo 2

O que é a distribuição normal padrão e como se define a probabilidade pedida:
  • A densidade da normal padrão é
\varphi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^{2}/2}.
  • A função de distribuição acumulada (CDF) é
\Phi(z)=\int_{-\infty}^{z}\varphi(t)\,dt=\int_{-\infty}^{z}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^{2}/2}\,dt.
  • A probabilidade que o enunciado pede é exatamente \Phi(1,65), isto é
\mathrm{P}(Z<1,65)=\Phi(1,65).
Observação importante (para a prova): essa integral não tem primitiva elementar, por isso usa-se tabela da normal padrão (tabela \Phi), calculadora estatística ou a função erro \operatorname{erf}. Vou mostrar a maneira prática com tabela, que é a mais comum em provas sem software.

Passo 3

Como usar a tabela da normal padrão (passo a passo, do jeitinho da prova):
  • As tabelas normalmente dão \Phi(z) para z positivos, organizadas por linha para a parte inteira e a primeira casa decimal (ex.: 1,6) e por coluna para a segunda casa decimal (ex.: 0,05).
  • Para z=1,65 localiza-se a linha 1,6 e a coluna 0,05. A interseção dá \Phi(1,65).
  • Se a prova cobrar o raciocínio: para z>0 não precisamos usar simetria; apenas ler a tabela. (Se fosse z<0 poderia usar \Phi(-a)=1-\Phi(a).)

Passo 4

Leitura na tabela (execução prática):
  • Procurando na tabela da normal padrão para z=1,65 (linha 1,6, coluna 0,05) encontra-se o valor
\Phi(1,65)=0,9505.
(Essa é a forma padrão de apresentar o resultado: probabilidade acumulada até 1,65.)

Passo 5

Verificação alternativa rápida e intuição:
  • Podemos checar a consistência lembrando que \Phi(1,64)=0,9495 e \Phi(1,66) será um pouco maior; então \Phi(1,65)=0,9505 faz sentido.
  • Também há a relação com a função erro:
\Phi(z)=\tfrac{1}{2}\bigl[1+\operatorname{erf}\bigl(\tfrac{z}{\sqrt{2}}\bigr)\bigr],
mas em prova sem calculadora a leitura na tabela é o caminho prático.

Passo 6

Interpretação final e dica de prova:
  • O valor \Phi(1,65)=0,9505 significa que a probabilidade de Z ser menor que 1,65 é 95,05\%.
  • Dica: memorize algumas entradas comuns da tabela (ex.: \Phi(1,64)=0,9495, \Phi(1,65)=0,9505, \Phi(1,96)=0,9750) — isso ajuda muito em provas rápidas.

Resposta

\mathrm{P}(\mathrm{Z}<1,65)=0,9505

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