Seja
. Se
é limitado superiormente mostrar que
admite elemento máximo.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado:
é um subconjunto não vazio de , isto é, e . - Dado:
é limitado superiormente, ou seja, existe um número real tal que para todo vale . - Pedido: Mostrar que
admite elemento máximo; isto é, provar que existe tal que para todo temos .
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática do porquê):
- Como os elementos de
são inteiros, faz sentido transformar o limitante superior real num limitante superior inteiro . Isso é feito usando a função teto (ceiling), , que produz o menor inteiro maior ou igual a . - Depois, consideramos as diferenças
para . Essas diferenças são inteiros não negativos, ou seja, pertencem a . - Um conjunto não vazio de inteiros não negativos tem mínimo (princípio do bom ordenamento das naturais). Pegando o menor desses
obtemos um elemento correspondente que será o máximo desejado.
Vou desenvolver isso passo a passo e explicar cada conceito (teto e princípio do bom ordenamento).
Passo 3
Existência de um limitante superior inteiro
:
- Temos
tal que para todo vale . - Defina
. Por definição de teto, , e . - Como todo
satisfaz , concluímos que é um limitante superior inteiro de :
Passo 4
Construção do conjunto de diferenças e aplicação do princípio do bom ordenamento:
- Defina o conjunto
- Cada elemento de
é um inteiro e, pelo passo anterior, para todo temos . Portanto . - Além disso,
é não vazio porque . - Agora usamos o princípio do bom ordenamento das naturais: “todo subconjunto não vazio de
tem um menor elemento”. Logo, tem um mínimo; denote-o por :
Breve explicação do princípio do bom ordenamento:
- Esse princípio é um axioma/resultado básico das naturais: não existem descendentes infinitos estritamente decrescentes em
, então qualquer conjunto não vazio de naturais possui um menor elemento. É exatamente a ferramenta que nos permite passar de um conjunto não vazio de inteiros não negativos à existência de um mínimo.
Passo 5
Relacionando o mínimo de
com um elemento de
:
- Pelo modo como
foi definido, existe algum tal que
- Reescrevendo, obtemos
- Note que
por construção (é o elemento de que gerou ).
Passo 6
Mostrar que
é máximo de
:
- Tome qualquer
. Então . - Como
é o mínimo de , temos . - Portanto
- Usando
, isso dá
- Como isso vale para todo
, concluímos que é um maiorante de pertencente a , ou seja, é o elemento máximo de .
Passo 7
Resumo da construção (para você lembrar na prova):
- Pegue um limitante superior real
de . - Defina
. - Considere
. - Seja
(existe pelo bom ordenamento). - Então
é o máximo de .
Resposta
A admite elemento máximo; explicitamente, se
é um limitante superior real de
,
,
e
, então
e
é o máximo de
.