Seja \varphi \neq A \subset \mathbb{Z}. Se A é limitado superiormente mostrar que A admite elemento máximo.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: A é um subconjunto não vazio de \mathbb{Z}, isto é, A\neq\emptyset e A\subset\mathbb{Z}.
  • Dado: A é limitado superiormente, ou seja, existe um número real U tal que para todo a\in A vale a\le U.
  • Pedido: Mostrar que A admite elemento máximo; isto é, provar que existe a_0\in A tal que para todo a\in A temos a\le a_0.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática do porquê):
  • Como os elementos de A são inteiros, faz sentido transformar o limitante superior real U num limitante superior inteiro M. Isso é feito usando a função teto (ceiling), \lceil U\rceil, que produz o menor inteiro maior ou igual a U.
  • Depois, consideramos as diferenças M-a para a\in A. Essas diferenças são inteiros não negativos, ou seja, pertencem a \mathbb{N}_0=\{0,1,2,\dots\}.
  • Um conjunto não vazio de inteiros não negativos tem mínimo (princípio do bom ordenamento das naturais). Pegando o menor desses M-a obtemos um elemento correspondente a_0\in A que será o máximo desejado.
    Vou desenvolver isso passo a passo e explicar cada conceito (teto e princípio do bom ordenamento).

Passo 3

Existência de um limitante superior inteiro M:
  • Temos U\in\mathbb{R} tal que para todo a\in A vale a\le U.
  • Defina M=\lceil U\rceil. Por definição de teto, M\in\mathbb{Z}, M\ge U e M-1< U.
  • Como todo a\in A satisfaz a\le U\le M, concluímos que M é um limitante superior inteiro de A:
\forall a\in A,\quad a\le M.

Passo 4

Construção do conjunto de diferenças e aplicação do princípio do bom ordenamento:
  • Defina o conjunto
C=\{\,M-a \mid a\in A\,\}.
  • Cada elemento de C é um inteiro e, pelo passo anterior, para todo a\in A temos M-a\ge 0. Portanto C\subset\mathbb{N}_0.
  • Além disso, C é não vazio porque A\neq\emptyset.
  • Agora usamos o princípio do bom ordenamento das naturais: “todo subconjunto não vazio de \mathbb{N}_0 tem um menor elemento”. Logo, C tem um mínimo; denote-o por d:
d=\min C.
Breve explicação do princípio do bom ordenamento:
  • Esse princípio é um axioma/resultado básico das naturais: não existem descendentes infinitos estritamente decrescentes em \mathbb{N}_0, então qualquer conjunto não vazio de naturais possui um menor elemento. É exatamente a ferramenta que nos permite passar de um conjunto não vazio de inteiros não negativos à existência de um mínimo.

Passo 5

Relacionando o mínimo de C com um elemento de A:
  • Pelo modo como C foi definido, existe algum a_0\in A tal que
d=M-a_0.
  • Reescrevendo, obtemos
a_0=M-d.
  • Note que a_0\in A por construção (é o elemento de A que gerou d).

Passo 6

Mostrar que a_0 é máximo de A:
  • Tome qualquer a\in A. Então M-a\in C.
  • Como d é o mínimo de C, temos d\le M-a.
  • Portanto
M-d \ge a.
  • Usando a_0=M-d, isso dá
a_0 \ge a.
  • Como isso vale para todo a\in A, concluímos que a_0 é um maiorante de A pertencente a A, ou seja, é o elemento máximo de A.

Passo 7

Resumo da construção (para você lembrar na prova):
  • Pegue um limitante superior real U de A.
  • Defina M=\lceil U\rceil\in\mathbb{Z}.
  • Considere C=\{M-a: a\in A\}\subset\mathbb{N}_0.
  • Seja d=\min C (existe pelo bom ordenamento).
  • Então a_0=M-d\in A é o máximo de A.

Resposta

A admite elemento máximo; explicitamente, se U é um limitante superior real de A, M=\lceil U\rceil, d=\min\{M-a:a\in A\} e a_0=M-d, então a_0\in A e a_0 é o máximo de A.

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