Seja x=\frac{1}{7} e sua aproximação \bar{x}=0,1429. Calcule os erros absoluto, relativo e relativo percentual entre x e \bar{x}. Arredonde os resultados para dois dígitos significativos.

Passo 1

O enunciado dá duas coisas: o valor exato x e a aproximação \bar{x}. As perguntas são: calcular o erro absoluto, o erro relativo e o erro relativo percentual entre x e \bar{x}, e arredondar os resultados para dois dígitos significativos. Informações dadas:
x=\frac{1}{7},\qquad \bar{x}=0,1429.

Passo 2

Definição e cálculo do erro absoluto. O erro absoluto mede a diferença em unidades da variável entre o valor exato e a aproximação. A fórmula é
E_a=\left|x-\bar{x}\right|.
Aqui x é o valor verdadeiro e \bar{x} é a aproximação. Vamos calcular exatamente usando frações para evitar erros de arredondamento:
x=\frac{1}{7},\qquad \bar{x}=\frac{1429}{10000}.
Subtraindo:
x-\bar{x}=\frac{1}{7}-\frac{1429}{10000}=\frac{10000-1429\cdot7}{70000}=\frac{10000-10003}{70000}=-\frac{3}{70000}.
Tomando valor absoluto:
E_a=\left|-\frac{3}{70000}\right|=\frac{3}{70000}.
Convertemos para decimal para ter uma noção:
\frac{3}{70000}=0,000042857142857\ldots

Passo 3

Arredondamento do erro absoluto para dois dígitos significativos. Regras rápidas: ignoramos zeros iniciais que não são significativos; contamos dois primeiros algarismos não nulos e arredondamos. Para 0,000042857\ldots os dois dígitos significativos são os algarismos 4 e 3 depois do arredondamento (porque o terceiro dígito é 2, então o segundo fica 3 ao arredondar? na verdade olhamos os dois primeiros não nulos 4 e 2 e arredondamos o segundo pela sequência seguinte; mas é mais direto usar notação científica).
Escrevendo em notação científica:
E_a=4,2857142857\ldots\times10^{-5}.
Dois dígitos significativos: 4,3\times10^{-5}. Voltando ao decimal:
E_a\approx0,000043.

Passo 4

Definição e cálculo do erro relativo. O erro relativo mede o erro em relação ao tamanho do valor verdadeiro; é uma medida adimensional que facilita comparar erros em escalas diferentes. A fórmula é
E_r=\frac{E_a}{|x|}.
Já temos E_a=\dfrac{3}{70000} e x=\dfrac{1}{7}. Fazendo a divisão exatamente:
E_r=\frac{3/70000}{1/7}=\frac{3}{70000}\cdot7=\frac{3}{10000}.
Em decimal isso é
E_r=0,0003.

Passo 5

Arredondamento do erro relativo para dois dígitos significativos. Em notação científica temos
E_r=3,0\times10^{-4},
que, escrito em decimal com dois dígitos significativos, fica
E_r\approx0,00030.
Aqui o zero final é significativo para indicar os dois dígitos significativos.

Passo 6

Definição e cálculo do erro relativo percentual. Basta multiplicar o erro relativo por 100\%:
E_{r\%}=E_r\times100\%.
Usando E_r=\dfrac{3}{10000} temos
E_{r\%}=\frac{3}{10000}\times100\%= \frac{3}{100}\% = 0,03\%.

Passo 7

Arredondamento do erro relativo percentual para dois dígitos significativos. Em notação científica:
E_{r\%}=3,0\times10^{-2}\%,
o que em decimal com dois dígitos significativos é
E_{r\%}\approx0,030\%.

Resposta

E_a=0,000043
E_r=0,00030
E_{r\%}=0,030\%

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