Seja X com função densidade de probabilidade dada por f(x)=\left\{\begin{array}{lr}x, & \text { para } 0 \leq x<1 \\\\ 2-x, & \text { para } 1 \leq x<2 \\\\ 0, & \text { para } x \notin[0,2)\end{array}\right.. Calcule:
\mathrm{P}(0<X<5);

Passo 1

O enunciado dá a função densidade de probabilidade
f(x)=\begin{cases} x, & \text{para } 0 \le x < 1,\\[4pt] 2-x, & \text{para } 1 \le x < 2,\\[4pt] 0, & \text{para } x \notin [0,2), \end{cases}
e pede calcular \mathrm{P}(0<X<5).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A densidade é não nula apenas em [0,2). Ou seja, para x<0 ou x\ge2 temos f(x)=0.
  • O evento pedido é 0<X<5, que tem limite superior maior que o suporte da densidade.
  • A densidade é dada por duas expressões diferentes em [0,1) e [1,2); portanto integraremos em duas partes se for preciso.]

Passo 2

Regra básica para converter densidade em probabilidade: para uma variável aleatória contínua com densidade f, a probabilidade de X estar em um intervalo (a,b) é
\mathrm{P}(a<X<b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Isto vem da definição de função densidade: a área sob f entre a e b é a probabilidade do evento.

Passo 3

Determinar os limites de integração para \mathrm{P}(0<X<5).
Como f(x)=0 para x\notin[0,2) e 5\ge2, a contribuição da densidade para x\ge2 é zero. Além disso, para uma distribuição contínua, a probabilidade em um ponto isolado é zero, então o fato de o intervalo ser aberto em 0 não altera a integral. Portanto
\mathrm{P}(0<X<5)=\int_{0}^{2} f(x)\,dx.

Passo 4

Como f é definida por partes em [0,1) e [1,2), dividimos a integral:
\int_{0}^{2} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} x\,dx + \int_{1}^{2} (2-x)\,dx.
Aqui foi usada explicitamente a expressão de f(x) em cada subintervalo (peguei essas fórmulas do enunciado).

Passo 5

Calcular a primeira integral passo a passo:
\int_{0}^{1} x\,dx.
Antiderivada de x é \dfrac{x^{2}}{2}. Avaliando entre 0 e 1:
\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Calcular a segunda integral passo a passo:
\int_{1}^{2} (2-x)\,dx.
Antiderivada de 2-x é 2x-\dfrac{x^{2}}{2}. Avaliando entre 1 e 2:
\left(2x-\frac{x^{2}}{2}\right)\Bigg|_{1}^{2}=\left(2\cdot 2-\frac{2^{2}}{2}\right)-\left(2\cdot 1-\frac{1^{2}}{2}\right)
= \left(4-\frac{4}{2}\right)-\left(2-\frac{1}{2}\right) = (4-2)-(2-\tfrac{1}{2})=2-\tfrac{3}{2}=\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Somar as duas contribuições:
\int_{0}^{1} x\,dx + \int_{1}^{2} (2-x)\,dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.
Interpretação final (rápida e amiga): o resultado 1 faz sentido porque toda a massa da distribuição está dentro de [0,2), então o evento 0<X<5 contém praticamente todo o espaço amostral — probabilisticamente, ocorre com certeza.

Resposta

\mathrm{P}(0<X<5)=1

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