Seja X com função densidade de probabilidade dada por f(x)=\left\{\begin{array}{lr}x, & \text { para } 0 \leq x<1 \\\\ 2-x, & \text { para } 1 \leq x<2 \\\\ 0, & \text { para } x \notin[0,2)\end{array}\right.. Calcule:
\mathrm{P}(0<X<1);

Passo 1

O enunciado dá a função densidade de probabilidade f\) de uma variável contínua \(X\), definida por \[f(x)=\begin{cases} x, & \text{para } 0 \le x<1,\\[4pt] 2-x, & \text{para } 1 \le x<2,\\[4pt] 0, & \text{para } x\notin[0,2). \end{cases}
O que o problema pede é calcular a probabilidade
\mathrm{P}(0<X<1).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O suporte de X\] é \([0,2) (ou seja, fora desse intervalo a densidade é zero).
  • A densidade é dada por duas expressões diferentes em [0,1) e em [1,2).
  • A probabilidade pedida corresponde a um intervalo que está completamente dentro da primeira peça da função, onde f(x)=x.]

Passo 2

Conceito-chave (explicação curta e prática): para uma variável contínua com densidade f(x), a probabilidade de que X caia em um intervalo (a,b) é dada pela integral da densidade nesse intervalo:
\mathrm{P}(a<X<b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Observação importante e útil para prova: em distribuições contínuas os extremos abertos ou fechados não importam, ou seja \mathrm{P}(0<X<1)=\mathrm{P}(0\le X\le1) porque \mathrm{P}(X=0)=\mathrm{P}(X=1)=0 quando há densidade (a menos de pontos com massa, o que não é o caso aqui).

Passo 3

Antes de calcular a probabilidade, é bom checar rapidamente que f é realmente uma densidade (isto ajuda a confiar no uso da integral). Isso se faz integrando em todo o suporte:
\int_{0}^{2} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} x\,dx + \int_{1}^{2} (2-x)\,dx.
Calculando cada integral:
\int_{0}^{1} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2},
\int_{1}^{2} (2-x)\,dx = \left. \left(2x-\frac{x^{2}}{2}\right)\right|_{1}^{2} = \left(4-\frac{4}{2}\right)-\left(2-\frac{1}{2}\right) = \left(4-2\right)-\left(2-\tfrac{1}{2}\right) = 2 - \tfrac{3}{2} = \tfrac{1}{2}.
Somando as duas partes obtém-se \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1. Portanto f está normalizada e é uma densidade válida.

Passo 4

Agora calcule diretamente a probabilidade pedida usando a fórmula do Passo 2. Como o intervalo (0,1) está na região onde f(x)=x,
\mathrm{P}(0<X<1)=\int_{0}^{1} x\,dx.
Executando a integral:
\int_{0}^{1} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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