Seja X com função densidade de probabilidade dada por f(x)=\left\{\begin{array}{lr}x, & \text { para } 0 \leq x<1 \\\\ 2-x, & \text { para } 1 \leq x<2 \\\\ 0, & \text { para } x \notin[0,2)\end{array}\right.. Calcule: \mathrm{P}(0<X<1);
Passo 1
O enunciado dá a função densidade de probabilidade f\) de uma variável contínua \(X\), definida por
\[f(x)=\begin{cases} x, & \text{para } 0 \le x<1,\\[4pt] 2-x, & \text{para } 1 \le x<2,\\[4pt] 0, & \text{para } x\notin[0,2). \end{cases}
O que o problema pede é calcular a probabilidade
\mathrm{P}(0<X<1).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
O suporte de X\] é \([0,2) (ou seja, fora desse intervalo a densidade é zero).
A densidade é dada por duas expressões diferentes em [0,1) e em [1,2).
A probabilidade pedida corresponde a um intervalo que está completamente dentro da primeira peça da função, onde f(x)=x.]
Passo 2
Conceito-chave (explicação curta e prática): para uma variável contínua com densidade f(x), a probabilidade de que X caia em um intervalo (a,b) é dada pela integral da densidade nesse intervalo:
\mathrm{P}(a<X<b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Observação importante e útil para prova: em distribuições contínuas os extremos abertos ou fechados não importam, ou seja \mathrm{P}(0<X<1)=\mathrm{P}(0\le X\le1) porque \mathrm{P}(X=0)=\mathrm{P}(X=1)=0 quando há densidade (a menos de pontos com massa, o que não é o caso aqui).
Passo 3
Antes de calcular a probabilidade, é bom checar rapidamente que f é realmente uma densidade (isto ajuda a confiar no uso da integral). Isso se faz integrando em todo o suporte: