Seja X com função densidade de probabilidade dada por f(x)=\left\{\begin{array}{lr}x, & \text { para } 0 \leq x<1 \\\\ 2-x, & \text { para } 1 \leq x<2 \\\\ 0, & \text { para } x \notin[0,2)\end{array}\right.. Calcule:
\mathrm{P}(1 / 3<X<3 / 2);

Passo 1

O enunciado nos dá a função densidade de probabilidade f\) de uma variável aleatória \(X\), definida por partes: \[f(x)=\begin{cases} x, & \text{para } 0 \le x < 1,\\[4pt] 2-x, & \text{para } 1 \le x < 2,\\[4pt] 0, & \text{para } x \notin [0,2). \end{cases}
A pergunta concreta é: calcular (\mathrm{P}!\left(\dfrac{1}{3} < X < \dfrac{3}{2}\right)].
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O suporte de X é o intervalo [0,2).
  • A densidade muda de expressão em x=1, por isso qualquer integral que cruze x=1 precisa ser dividida em duas integrais, uma em cada ramo.
  • O intervalo pedido \left(\dfrac{1}{3},\dfrac{3}{2}\right) corta exatamente o ponto x=1, então vamos separar a integral em \left(\dfrac{1}{3},1\right) e \left(1,\dfrac{3}{2}\right).]

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicadinho): para uma variável aleatória contínua com densidade f(x), a probabilidade de X estar em um intervalo A é a integral da densidade sobre A:
\mathrm{P}(X\in A)=\int_{A} f(x)\,dx.
Aqui A=\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{3}{2}\right). Como a densidade é por partes, aplicamos a regra anterior separando nas partes onde f tem expressão contínua.
Observação útil: para variáveis contínuas, incluir ou excluir os pontos finais não muda o valor da probabilidade (pontos têm medida zero). Então trabalhar com intervalos abertos é tranquilo.

Passo 3

Montamos a integral de probabilidade dividida no ponto x=1:
\mathrm{P}\!\left(\dfrac{1}{3}<X<\dfrac{3}{2}\right) = \int_{1/3}^{1} x\,dx \;+\; \int_{1}^{3/2} (2-x)\,dx.
Aqui usei a expressão f(x)=x no intervalo [0,1) e f(x)=2-x no intervalo [1,2), e peguei os limites apropriados.

Passo 4

Calcular a primeira integral passo a passo:
\int_{1/3}^{1} x\,dx
A primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}. Avaliando nos limites:
\int_{1/3}^{1} x\,dx = \left.\dfrac{x^{2}}{2}\right|_{x=1/3}^{x=1} = \dfrac{1^{2}}{2}-\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}}{2} = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{18}.
Fazendo a subtração com denominador comum 18:
\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{18}=\dfrac{9}{18}-\dfrac{1}{18}=\dfrac{8}{18}=\dfrac{4}{9}.

Passo 5

Calcular a segunda integral passo a passo:
\int_{1}^{3/2} (2-x)\,dx.
A primitiva de 2-x é 2x-\dfrac{x^{2}}{2}. Avaliando nos limites:
\int_{1}^{3/2} (2-x)\,dx = \left.\left(2x-\dfrac{x^{2}}{2}\right)\right|_{x=1}^{x=3/2} = \left(2\cdot\dfrac{3}{2}-\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}}{2}\right) - \left(2\cdot 1-\dfrac{1^{2}}{2}\right).
Calculando cada termo:
2\cdot\dfrac{3}{2}=3,\qquad \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4},\qquad \dfrac{9}{4}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{8},
logo o primeiro parêntese vale 3-\dfrac{9}{8}=\dfrac{24}{8}-\dfrac{9}{8}=\dfrac{15}{8}.
O segundo parêntese vale 2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}=\dfrac{12}{8}.
Subtraindo:
\dfrac{15}{8}-\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{8}.

Passo 6

Somar as duas partes obtidas:
\mathrm{P}\!\left(\dfrac{1}{3}<X<\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{4}{9}+\dfrac{3}{8}.
Colocando em denominador comum 72:
\dfrac{4}{9}=\dfrac{32}{72},\qquad \dfrac{3}{8}=\dfrac{27}{72},
então a soma é
\dfrac{32}{72}+\dfrac{27}{72}=\dfrac{59}{72}.

Passo 7

Cheque rápido (opcional, para dar confiança): a densidade é normalizada?
\int_{0}^{1} x\,dx=\dfrac{1}{2},\qquad \int_{1}^{2} (2-x)\,dx=\dfrac{1}{2},
soma 1. Está tudo consistente.

Resposta

\dfrac{59}{72}

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