Seja X com função densidade de probabilidade dada por f(x)=\left\{\begin{array}{lr}x, & \text { para } 0 \leq x<1 \\\\ 2-x, & \text { para } 1 \leq x<2 \\\\ 0, & \text { para } x \notin[0,2)\end{array}\right.. Calcule: \mathrm{P}(1 / 3<X<3 / 2);
Passo 1
O enunciado nos dá a função densidade de probabilidade f\) de uma variável aleatória \(X\), definida por partes:
\[f(x)=\begin{cases} x, & \text{para } 0 \le x < 1,\\[4pt] 2-x, & \text{para } 1 \le x < 2,\\[4pt] 0, & \text{para } x \notin [0,2). \end{cases}
A pergunta concreta é: calcular (\mathrm{P}!\left(\dfrac{1}{3} < X < \dfrac{3}{2}\right)].
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O suporte de X é o intervalo [0,2).
A densidade muda de expressão em x=1, por isso qualquer integral que cruze x=1 precisa ser dividida em duas integrais, uma em cada ramo.
O intervalo pedido \left(\dfrac{1}{3},\dfrac{3}{2}\right) corta exatamente o ponto x=1, então vamos separar a integral em \left(\dfrac{1}{3},1\right) e \left(1,\dfrac{3}{2}\right).]
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (explicadinho): para uma variável aleatória contínua com densidade f(x), a probabilidade de X estar em um intervalo A é a integral da densidade sobre A:
\mathrm{P}(X\in A)=\int_{A} f(x)\,dx.
Aqui A=\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{3}{2}\right). Como a densidade é por partes, aplicamos a regra anterior separando nas partes onde f tem expressão contínua.
Observação útil: para variáveis contínuas, incluir ou excluir os pontos finais não muda o valor da probabilidade (pontos têm medida zero). Então trabalhar com intervalos abertos é tranquilo.
Passo 3
Montamos a integral de probabilidade dividida no ponto x=1:
logo o primeiro parêntese vale 3-\dfrac{9}{8}=\dfrac{24}{8}-\dfrac{9}{8}=\dfrac{15}{8}.
O segundo parêntese vale 2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}=\dfrac{12}{8}.
Subtraindo: