Seja X com função densidade de probabilidade dada por f(x)=\left\{\begin{array}{lr}x, & \text { para } 0 \leq x<1 \\\\ 2-x, & \text { para } 1 \leq x<2 \\\\ 0, & \text { para } x \notin[0,2)\end{array}\right.. Calcule: \mathrm{E}(X) ;
Passo 1
O enunciado fornece a função densidade de probabilidade f\) de uma variável aleatória contínua \(X\), dada por
\[f(x)=\begin{cases} x, & \text{para } 0 \le x < 1,\\[4pt] 2-x, & \text{para } 1 \le x < 2,\\[4pt] 0, & \text{para } x \notin [0,2). \end{cases}
A pergunta é calcular \mathrm{E}(X)\], a esperança (valor esperado) de \(X.
Informações relevantes fornecidas:
A função densidade f(x) está definida em pedaços no intervalo [0,2).
Fora de [0,2) a densidade vale zero.
A tarefa é encontrar \mathrm{E}(X).]
Passo 2
Antes de calcular a esperança, é bom confirmar rapidamente que f é de fato uma densidade (soma das probabilidades = 1). Para uma densidade contínua checamos
onde x é a variável de integração e f(x) é a densidade. Intuitivamente, \mathrm{E}(X) é o “centro de massa” da distribuição — uma média ponderada dos valores de x com pesos f(x).
Como f(x) é nula fora de [0,2), podemos restringir a integral ao suporte:
Interpretação rápida e motivadora: a média da distribuição é exatamente \,1, ou seja, o “centro de massa” da densidade dada está no ponto x=1. Boa — foi direto e limpo!