Seja X com função densidade de probabilidade dada por f(x)=\left\{\begin{array}{lr}x, & \text { para } 0 \leq x<1 \\\\ 2-x, & \text { para } 1 \leq x<2 \\\\ 0, & \text { para } x \notin[0,2)\end{array}\right.. Calcule:
\mathrm{E}(X) ;

Passo 1

O enunciado fornece a função densidade de probabilidade f\) de uma variável aleatória contínua \(X\), dada por \[f(x)=\begin{cases} x, & \text{para } 0 \le x < 1,\\[4pt] 2-x, & \text{para } 1 \le x < 2,\\[4pt] 0, & \text{para } x \notin [0,2). \end{cases}
A pergunta é calcular \mathrm{E}(X)\], a esperança (valor esperado) de \(X.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função densidade f(x) está definida em pedaços no intervalo [0,2).
  • Fora de [0,2) a densidade vale zero.
  • A tarefa é encontrar \mathrm{E}(X).]

Passo 2

Antes de calcular a esperança, é bom confirmar rapidamente que f é de fato uma densidade (soma das probabilidades = 1). Para uma densidade contínua checamos
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} x\,dx + \int_{1}^{2} (2-x)\,dx.
Calculo das integrais:
\int_{0}^{1} x\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}.
\int_{1}^{2} (2-x)\,dx = \left[2x - \frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2} = \left(4 - \frac{4}{2}\right) - \left(2 - \frac{1}{2}\right) = (4 - 2) - \left(\tfrac{3}{2}\right) = 2 - \tfrac{3}{2} = \tfrac{1}{2}.
Somando as duas partes obtemos \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1. Logo f está normalizada e é uma densidade válida.

Passo 3

Agora a teoria necessária: a definição de esperança para variável contínua. A esperança (valor esperado) é
\mathrm{E}(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx,
onde x é a variável de integração e f(x) é a densidade. Intuitivamente, \mathrm{E}(X) é o “centro de massa” da distribuição — uma média ponderada dos valores de x com pesos f(x).
Como f(x) é nula fora de [0,2), podemos restringir a integral ao suporte:
\mathrm{E}(X)=\int_{0}^{1} x\cdot x\,dx + \int_{1}^{2} x\cdot(2-x)\,dx.
Note que multiplicamos x (a variável) por f(x) em cada trecho do suporte.

Passo 4

Simplificando os integrandos:
\int_{0}^{1} x\cdot x\,dx = \int_{0}^{1} x^{2}\,dx, \qquad \int_{1}^{2} x\cdot(2-x)\,dx = \int_{1}^{2} (2x - x^{2})\,dx.

Passo 5

Calcular a primeira integral:
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.

Passo 6

Calcular a segunda integral:
\int_{1}^{2} (2x - x^{2})\,dx = \left[x^{2} - \frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2}.
Avaliações:
\text{em } x=2:\quad 2^{2} - \frac{2^{3}}{3} = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3},
\text{em } x=1:\quad 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
Diferença:
\frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}.

Passo 7

Somando as duas parcelas obtidas:
\mathrm{E}(X)=\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1.
Interpretação rápida e motivadora: a média da distribuição é exatamente \,1, ou seja, o “centro de massa” da densidade dada está no ponto x=1. Boa — foi direto e limpo!

Resposta

\mathrm{E}(X)=1

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