Seja X com função densidade de probabilidade dada por f(x)=\left\{\begin{array}{lr}x, & \text { para } 0 \leq x<1 \\\\ 2-x, & \text { para } 1 \leq x<2 \\\\ 0, & \text { para } x \notin[0,2)\end{array}\right.. Calcule: \operatorname{Var}(X) .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a variância de X: \operatorname{Var}(X).
Informações dadas (densidade de probabilidade, trecho por trecho):
Para 0 \leq x < 1: f(x)=x.
Para 1 \leq x < 2: f(x)=2-x.
Para x \notin[0,2): f(x)=0.
Temos portanto que o suporte de X é [0,2) e a densidade é peça-por-peça conforme acima. A variância será obtida por \operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-\bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^{2}, então precisamos calcular \mathbb{E}[X] e \mathbb{E}[X^{2}].
Passo 2
Primeiro é bom checar que f é de fato uma densidade (integra a 1):