Seja X com função densidade de probabilidade dada por f(x)=\left\{\begin{array}{lr}x, & \text { para } 0 \leq x<1 \\\\ 2-x, & \text { para } 1 \leq x<2 \\\\ 0, & \text { para } x \notin[0,2)\end{array}\right.. Calcule:
\operatorname{Var}(X) .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a variância de X: \operatorname{Var}(X).
Informações dadas (densidade de probabilidade, trecho por trecho):
  • Para 0 \leq x < 1: f(x)=x.
  • Para 1 \leq x < 2: f(x)=2-x.
  • Para x \notin[0,2): f(x)=0.
Temos portanto que o suporte de X é [0,2) e a densidade é peça-por-peça conforme acima. A variância será obtida por \operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-\bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^{2}, então precisamos calcular \mathbb{E}[X] e \mathbb{E}[X^{2}].

Passo 2

Primeiro é bom checar que f é de fato uma densidade (integra a 1):
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} x\,dx + \int_{1}^{2} (2-x)\,dx.
Calcular cada integral:
\int_{0}^{1} x\,dx = \left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2},
\int_{1}^{2} (2-x)\,dx = \left[2x - \tfrac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2} = \bigl(4 - 2\bigr) - \bigl(2 - \tfrac{1}{2}\bigr) = 2 - \tfrac{3}{2} = \tfrac{1}{2}.
Somando,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 1.
Portanto f está normalizada corretamente.

Passo 3

Definição e cálculo de \mathbb{E}[X].
A esperança de X é
\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx = \int_{0}^{1} x\cdot x\,dx + \int_{1}^{2} x\cdot(2-x)\,dx.
Calculemos cada parte:
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \left[\tfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{3}.
Para a segunda:
\int_{1}^{2} x(2-x)\,dx = \int_{1}^{2} (2x - x^{2})\,dx = \left[x^{2} - \tfrac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2}.
Avaliar:
\left[x^{2} - \tfrac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2} = \bigl(4 - \tfrac{8}{3}\bigr) - \bigl(1 - \tfrac{1}{3}\bigr) = \bigl(\tfrac{12-8}{3}\bigr) - \bigl(\tfrac{3-1}{3}\bigr) = \tfrac{4}{3} - \tfrac{2}{3} = \tfrac{2}{3}.
Somando as partes:
\mathbb{E}[X] = \tfrac{1}{3} + \tfrac{2}{3} = 1.

Passo 4

Definição e cálculo de \mathbb{E}[X^{2}].
Temos
\mathbb{E}[X^{2}] = \int_{-\infty}^{\infty} x^{2} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} x^{2}\cdot x\,dx + \int_{1}^{2} x^{2}\cdot(2-x)\,dx.
Calculemos cada integral:
\int_{0}^{1} x^{3}\,dx = \left[\tfrac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{4}.
E
\int_{1}^{2} x^{2}(2-x)\,dx = \int_{1}^{2} (2x^{2} - x^{3})\,dx = \left[\tfrac{2x^{3}}{3} - \tfrac{x^{4}}{4}\right]_{1}^{2}.
Avaliar:
\left[\tfrac{2x^{3}}{3} - \tfrac{x^{4}}{4}\right]_{1}^{2} = \left(\tfrac{16}{3} - \tfrac{16}{4}\right) - \left(\tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{4}\right) = \left(\tfrac{16}{3} - 4\right) - \left(\tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{4}\right).
Colocando em denominador comum 12:
\tfrac{16}{3} - 4 = \tfrac{64-48}{12} = \tfrac{16}{12},\qquad \tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{4} = \tfrac{8-3}{12} = \tfrac{5}{12}.
Logo a diferença é
\tfrac{16}{12} - \tfrac{5}{12} = \tfrac{11}{12}.
Somando com a primeira parte:
\mathbb{E}[X^{2}] = \tfrac{1}{4} + \tfrac{11}{12} = \tfrac{3}{12} + \tfrac{11}{12} = \tfrac{14}{12} = \tfrac{7}{6}.

Passo 5

Cálculo final da variância usando \operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-\bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^{2}.
Substituindo os valores encontrados:
\operatorname{Var}(X) = \tfrac{7}{6} - (1)^{2} = \tfrac{7}{6} - 1 = \tfrac{1}{6}.

Resposta

\operatorname{Var}(X)=\tfrac{1}{6}

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