1. Seja z=a+i b, \operatorname{com} b \neq 0 e \mathbf{a} e \mathbf{b} reais. Sabendo que \frac{z}{1-z+z^{2}} é um número real, podemos afirmar que a^{2}+b^{2} é:
    A) 0
    B) -1
    C) -2
    D) 1
    E) 2

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • z=a+i b com a,b\in\mathbb{R} e b\neq0.
  • Sabe-se que \dfrac{z}{1-z+z^{2}} é um número real.
    O que a questão pede: determinar o valor de a^{2}+b^{2} (entre as opções dadas).

Passo 2

Ideia que vamos usar (ferramenta básica sobre números complexos):
  • Um número complexo w é real se, e somente se, w=\overline{w} (ou seja, ele é igual ao seu conjugado).
  • Para qualquer polinômio com coeficientes reais, vale \overline{P(z)}=P(\overline{z}). Em particular \overline{1-z+z^{2}}=1-\overline{z}+\overline{z}^{2}.
  • Também usamos |z|^{2}=z\overline{z}=a^{2}+b^{2}.
Aplicando a primeira observação ao quociente dado: se \dfrac{z}{1-z+z^{2}} é real então
\frac{z}{1-z+z^{2}}=\overline{\left(\frac{z}{1-z+z^{2}}\right)}=\frac{\overline{z}}{1-\overline{z}+\overline{z}^{2}}.

Passo 3

A partir da igualdade escrita no passo anterior, fazemos a multiplicação em cruz (cross-multiplicação) para eliminar denominadores:
z\bigl(1-\overline{z}+\overline{z}^{2}\bigr)=\overline{z}\bigl(1-z+z^{2}\bigr).

Passo 4

Expandindo ambos os lados e levando tudo para o mesmo membro:
z - z\overline{z} + z\overline{z}^{2} = \overline{z} - \overline{z}z + \overline{z} z^{2}.
Colocando todos os termos no lado esquerdo e observando que -z\overline{z}+\overline{z}z=0, obtemos
\bigl(z-\overline{z}\bigr) + \bigl(z\overline{z}^{2}-\overline{z}z^{2}\bigr)=0.

Passo 5

Manipulamos a segunda diferença usando |z|^{2}=z\overline{z}:
z\overline{z}^{2}=(z\overline{z})\overline{z}=|z|^{2}\overline{z}, \qquad \overline{z}z^{2}=(\overline{z}z)z=|z|^{2}z.
Portanto
z\overline{z}^{2}-\overline{z}z^{2}=|z|^{2}\overline{z}-|z|^{2}z=|z|^{2}(\overline{z}-z)=-|z|^{2}(z-\overline{z}).
Substituindo na igualdade do passo anterior:
(z-\overline{z}) - |z|^{2}(z-\overline{z}) = (z-\overline{z})\bigl(1-|z|^{2}\bigr)=0.

Passo 6

A expressão (z-\overline{z}) vale 2i b. Como o enunciado impõe b\neq0, tem-se z-\overline{z}\neq0. Portanto, para que o produto seja zero é preciso que
1-|z|^{2}=0,
ou seja |z|^{2}=1. Lembrando |z|^{2}=a^{2}+b^{2}, concluímos que
a^{2}+b^{2}=1.

Resposta

D) 1

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