Seja z=a+i b, \operatorname{com} b \neq 0 e \mathbf{a} e \mathbf{b} reais. Sabendo que \frac{z}{1-z+z^{2}} é um número real, podemos afirmar que a^{2}+b^{2} é:
A) 0
B) -1
C) -2
D) 1
E) 2
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
z=a+i b com a,b\in\mathbb{R} e b\neq0.
Sabe-se que \dfrac{z}{1-z+z^{2}} é um número real.
O que a questão pede: determinar o valor de a^{2}+b^{2} (entre as opções dadas).
Passo 2
Ideia que vamos usar (ferramenta básica sobre números complexos):
Um número complexo w é real se, e somente se, w=\overline{w} (ou seja, ele é igual ao seu conjugado).
Para qualquer polinômio com coeficientes reais, vale \overline{P(z)}=P(\overline{z}). Em particular \overline{1-z+z^{2}}=1-\overline{z}+\overline{z}^{2}.
Também usamos |z|^{2}=z\overline{z}=a^{2}+b^{2}.
Aplicando a primeira observação ao quociente dado: se \dfrac{z}{1-z+z^{2}} é real então
A expressão (z-\overline{z}) vale 2i b. Como o enunciado impõe b\neq0, tem-se z-\overline{z}\neq0. Portanto, para que o produto seja zero é preciso que
1-|z|^{2}=0,
ou seja |z|^{2}=1. Lembrando |z|^{2}=a^{2}+b^{2}, concluímos que