Seja
com
(a) Calcule
usando a regra da cadeia.
(b) Calcule
.
(b) Calcule
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede:
- A função é
. - As variáveis
e são funções de : e . - O enunciado pede:
(a) calcularusando a regra da cadeia;
(b) calcular.
Passo 2
Entendendo o que vamos aplicar (sem resolver ainda): quando uma função
depende de
e
, que por sua vez dependem de
, a regra da cadeia para derivada total diz que
Aqui vou aplicar isso: primeiro calculo as derivadas parciais
e
, depois
e
, e por fim substituo
e
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
- Regra:
. Aplicando com e derivando em relação a (tratando como constante),
- De modo análogo, derivando em relação a
,
Também preciso de
e
. Com
e
temos:
Passo 4
Agora aplico a regra da cadeia explicitamente:
Substituindo
, obtemos
Observação útil:
, então uma forma alternativa é
Passo 5
Agora calculo a segunda derivada
.
É conveniente usar a forma
É conveniente usar a forma
onde, usando a forma simplificada,
Vou calcular
e
:
Note uma identidade prática:
.
Passo 6
Aplicando a regra do quociente:
Como
, isto simplifica para
Substituindo as expressões de
dá uma forma explícita:
Passo 7
Para deixar a expressão mais compacta, podemos simplificar algebricamente o numerador (os passos de simplificação trigonométrica foram feitos abaixo):
- Expandindo e simplificando com identidades trigonométricas chega-se a
Essa é uma forma equivalente e um pouco mais compacta do resultado anterior.