Seja
z=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)
com
x=e^{t}, \quad y=\sin t
(a) Calcule \frac{d z}{d t} usando a regra da cadeia.
(b) Calcule \frac{d^{2} z}{d t^{2}}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede:
  • A função é \displaystyle z=\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
  • As variáveis x e y são funções de t: \displaystyle x=e^{t} e \displaystyle y=\sin t.
  • O enunciado pede:
    (a) calcular \displaystyle \frac{dz}{dt} usando a regra da cadeia;
    (b) calcular \displaystyle \frac{d^{2}z}{dt^{2}}.

Passo 2

Entendendo o que vamos aplicar (sem resolver ainda): quando uma função z depende de x e y, que por sua vez dependem de t, a regra da cadeia para derivada total diz que
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Aqui vou aplicar isso: primeiro calculo as derivadas parciais \partial z/\partial x e \partial z/\partial y, depois dx/dt e dy/dt, e por fim substituo x=e^{t} e y=\sin t.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de z=\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
  • Regra: \displaystyle \frac{d}{du}\ln(u)=\frac{1}{u}. Aplicando com u=x^{2}+y^{2} e derivando em relação a x (tratando y como constante),
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) =\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}.
  • De modo análogo, derivando em relação a y,
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) =\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.
Também preciso de dx/dt e dy/dt. Com x=e^{t} e y=\sin t temos:
\frac{dx}{dt}=e^{t},\qquad \frac{dy}{dt}=\cos t.

Passo 4

Agora aplico a regra da cadeia explicitamente:
\frac{dz}{dt}=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{dy}{dt} =\frac{2\bigl(x\,\tfrac{dx}{dt}+y\,\tfrac{dy}{dt}\bigr)}{x^{2}+y^{2}}.
Substituindo \displaystyle x=e^{t},\;y=\sin t,\;\tfrac{dx}{dt}=e^{t},\;\tfrac{dy}{dt}=\cos t, obtemos
\frac{dz}{dt}=\frac{2\bigl(e^{t}\cdot e^{t}+\sin t\cdot\cos t\bigr)}{e^{2t}+\sin^{2}t} =\frac{2\bigl(e^{2t}+\sin t\cos t\bigr)}{e^{2t}+\sin^{2}t}.
Observação útil: \sin t\cos t=\tfrac{1}{2}\sin 2t, então uma forma alternativa é
\frac{dz}{dt}=\frac{2\bigl(e^{2t}+\tfrac{1}{2}\sin 2t\bigr)}{e^{2t}+\sin^{2}t} =\frac{2e^{2t}+\sin 2t}{e^{2t}+\sin^{2}t}.

Passo 5

Agora calculo a segunda derivada \displaystyle \frac{d^{2}z}{dt^{2}}=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{dz}{dt}\right).
É conveniente usar a forma
\frac{dz}{dt}=\frac{N(t)}{D(t)},
onde, usando a forma simplificada,
N(t)=2e^{2t}+\sin 2t,\qquad D(t)=e^{2t}+\sin^{2}t.
Vou calcular N'(t) e D'(t):
N'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2e^{2t}+\sin 2t\bigr)=4e^{2t}+2\cos 2t,
D'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{2t}+\sin^{2}t\bigr)=2e^{2t}+2\sin t\cos t=2e^{2t}+\sin 2t.
Note uma identidade prática: D'(t)=2e^{2t}+\sin 2t=N(t).

Passo 6

Aplicando a regra do quociente:
\frac{d^{2}z}{dt^{2}}=\frac{N' D - N D'}{D^{2}}.
Como D'=N, isto simplifica para
\frac{d^{2}z}{dt^{2}}=\frac{N' D - N^{2}}{D^{2}}.
Substituindo as expressões de N',N,D dá uma forma explícita:
\frac{d^{2}z}{dt^{2}}=\frac{\bigl(4e^{2t}+2\cos 2t\bigr)\bigl(e^{2t}+\sin^{2}t\bigr)-\bigl(2e^{2t}+\sin 2t\bigr)^{2}}{\bigl(e^{2t}+\sin^{2}t\bigr)^{2}}.

Passo 7

Para deixar a expressão mais compacta, podemos simplificar algebricamente o numerador (os passos de simplificação trigonométrica foram feitos abaixo):
  • Expandindo e simplificando com identidades trigonométricas chega-se a
\frac{d^{2}z}{dt^{2}}=\frac{2\bigl(e^{2t}\bigl(1-2\sin 2t\bigr)-\sin^{2}t\bigr)}{\bigl(e^{2t}+\sin^{2}t\bigr)^{2}}.
Essa é uma forma equivalente e um pouco mais compacta do resultado anterior.

Resposta

\displaystyle \frac{dz}{dt}=\frac{2\bigl(e^{2t}+\sin t\cos t\bigr)}{e^{2t}+\sin^{2}t}
\displaystyle \frac{d^{2}z}{dt^{2}}=\frac{\bigl(4e^{2t}+2\cos 2t\bigr)\bigl(e^{2t}+\sin^{2}t\bigr)-\bigl(2e^{2t}+\sin 2t\bigr)^{2}}{\bigl(e^{2t}+\sin^{2}t\bigr)^{2}} =\frac{2\bigl(e^{2t}\bigl(1-2\sin 2t\bigr)-\sin^{2}t\bigr)}{\bigl(e^{2t}+\sin^{2}t\bigr)^{2}}

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