Sejam
,
e
matrizes de ordem
inversíveis. Encontre a matrix
solução da equação matricial
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara. Informações dadas:
-
, e são matrizes de ordem inversíveis. - A incógnita é a matriz
. - A equação matricial a ser satisfeita é
O que o problema pede:
- Encontrar explicitamente a matriz
que resolve a equação acima.
Passo 2
Vamos eliminar o
multiplicando a equação pela esquerda por
. Como
é inversível, sabemos que
, portanto é permitido multiplicar por
à esquerda sem perder equivalência. Aplicando isso obtemos
Passo 3
Agora eliminamos o
multiplicando a equação resultante pela direita por
. Como
é inversível,
, então podemos multiplicar por
à direita e manter equivalência. Fazendo isso:
Passo 4
Isolamos o termo que contém
. Subtraindo
de ambos os lados (operação válida em matrizes, feita termo a termo) obtemos
Passo 5
Para obter
isolada multiplicamos a equação acima pela direita por
. Note que multiplicar à direita por
anula o
por associatividade e pela propriedade
. Assim:
Podemos também distribuir e escrever de forma expandida:
Aqui é importante observar a ordem das multiplicações:
não é, em geral, igual a
; por isso preservamos a ordem obtida nas manipulações.
Passo 6
Verificação rápida (útil para a prova): substituindo
em
temos
e então
Isso confirma que a solução encontrada realmente satisfaz a equação inicial.