Sejam A, B e C matrizes de ordem n inversíveis. Encontre a matrix X \in M_{n}(\mathbb{R}) solução da equação matricial C^{-1}\left(A+X A^{-1}\right) B^{-1}=I_{n}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara. Informações dadas:
  • A, B e C são matrizes de ordem n inversíveis.
  • A incógnita é a matriz X\in M_{n}(\mathbb{R}).
  • A equação matricial a ser satisfeita é
C^{-1}\bigl(A+X A^{-1}\bigr)B^{-1}=I_{n}
O que o problema pede:
  • Encontrar explicitamente a matriz X que resolve a equação acima.

Passo 2

Vamos eliminar o C^{-1} multiplicando a equação pela esquerda por C. Como C é inversível, sabemos que C C^{-1}=I_{n}, portanto é permitido multiplicar por C à esquerda sem perder equivalência. Aplicando isso obtemos
\bigl(A+X A^{-1}\bigr)B^{-1}=C.

Passo 3

Agora eliminamos o B^{-1} multiplicando a equação resultante pela direita por B. Como B é inversível, B^{-1}B=I_{n}, então podemos multiplicar por B à direita e manter equivalência. Fazendo isso:
A+X A^{-1}=C B.

Passo 4

Isolamos o termo que contém X. Subtraindo A de ambos os lados (operação válida em matrizes, feita termo a termo) obtemos
X A^{-1}=C B - A.

Passo 5

Para obter X isolada multiplicamos a equação acima pela direita por A. Note que multiplicar à direita por A anula o A^{-1} por associatividade e pela propriedade A^{-1}A=I_{n}. Assim:
X = \bigl(C B - A\bigr)A.
Podemos também distribuir e escrever de forma expandida:
X = C B A - A^{2}.
Aqui é importante observar a ordem das multiplicações: C B A não é, em geral, igual a A C B; por isso preservamos a ordem obtida nas manipulações.

Passo 6

Verificação rápida (útil para a prova): substituindo X=\bigl(CB-A\bigr)A em A+X A^{-1} temos
A + X A^{-1}=A + \bigl(CB-A\bigr)A A^{-1}=A + \bigl(CB-A\bigr)=CB,
e então
C^{-1}\bigl(A+X A^{-1}\bigr)B^{-1}=C^{-1}(CB)B^{-1}=I_{n}.
Isso confirma que a solução encontrada realmente satisfaz a equação inicial.

Resposta

X=\bigl(CB-A\bigr)A

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