Sejam A=(1,2,1), B=(3,0,5) e C=(5,1,3) os vértices de um triângulo em \mathbb{R}^{3}. Considere o ponto D obtido pela interseção de uma reta que passa por C e é perpendicular ao segmento \overline{B A}. Calcule a área do triângulo C B D.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
Dados: os vértices do triângulo são A=(1,2,1), B=(3,0,5) e C=(5,1,3).
É considerado o ponto D obtido como interseção da reta que passa por C e é perpendicular ao segmento \overline{BA} com a reta que contém A e B. Ou seja, D é o pé da perpendicular de C sobre a reta que passa por A e B.
Pedido: calcular a área do triângulo C B D.
Passo 2
Primeiro é preciso encontrar as coordenadas de D. A ideia padrão: pontos da reta que contém A e B têm a forma
A + t\,(B-A),
onde t\in\mathbb{R}. Como D é o pé da perpendicular de C sobre essa reta, o vetor C-D deve ser ortogonal a B-A, isto é,
(C-D)\cdot (B-A)=0.
Substituindo D=A+t(B-A) na condição acima e isolando t obtém-se a fórmula da projeção:
t=\frac{(C-A)\cdot (B-A)}{\lVert B-A\rVert^{2}}.
Explicando rápido o que cada coisa significa: (\cdot) é o produto escalar (multiplica componentes e soma), e \lVert B-A\rVert^{2} é o quadrado da norma (soma dos quadrados das componentes). Essa fórmula dá o parâmetro t do ponto da reta AB mais próximo de C.
Agora precisamos da área do triângulo C B D. Em \mathbb{R}^3, dada uma base em um vértice, a área do triângulo é metade da norma do produto vetorial entre dois lados que saem desse vértice. Especificamente, se tomarmos os vetores \overrightarrow{BC} e \overrightarrow{DC} (ou \overrightarrow{CB} e \overrightarrow{CD}), a área é