Sejam A=(1,2,1), B=(3,0,5) e C=(5,1,3) os vértices de um triângulo em \mathbb{R}^{3}. Considere o ponto D obtido pela interseção de uma reta que passa por C e é perpendicular ao segmento \overline{B A}. Calcule a área do triângulo C B D.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados: os vértices do triângulo são A=(1,2,1), B=(3,0,5) e C=(5,1,3).
  • É considerado o ponto D obtido como interseção da reta que passa por C e é perpendicular ao segmento \overline{BA} com a reta que contém A e B. Ou seja, D é o pé da perpendicular de C sobre a reta que passa por A e B.
  • Pedido: calcular a área do triângulo C B D.

Passo 2

Primeiro é preciso encontrar as coordenadas de D. A ideia padrão: pontos da reta que contém A e B têm a forma
A + t\,(B-A),
onde t\in\mathbb{R}. Como D é o pé da perpendicular de C sobre essa reta, o vetor C-D deve ser ortogonal a B-A, isto é,
(C-D)\cdot (B-A)=0.
Substituindo D=A+t(B-A) na condição acima e isolando t obtém-se a fórmula da projeção:
t=\frac{(C-A)\cdot (B-A)}{\lVert B-A\rVert^{2}}.
Explicando rápido o que cada coisa significa: (\cdot) é o produto escalar (multiplica componentes e soma), e \lVert B-A\rVert^{2} é o quadrado da norma (soma dos quadrados das componentes). Essa fórmula dá o parâmetro t do ponto da reta AB mais próximo de C.
Agora calculo os vetores envolvidos:
B-A=(3,0,5)-(1,2,1)=(2,-2,4),
C-A=(5,1,3)-(1,2,1)=(4,-1,2).
Calculo o produto escalar e a norma ao quadrado:
(C-A)\cdot(B-A)=4\cdot 2 + (-1)\cdot(-2) + 2\cdot 4 = 8+2+8=18,
\lVert B-A\rVert^{2}=2^{2}+(-2)^{2}+4^{2}=4+4+16=24.
Portanto
t=\frac{18}{24}=\frac{3}{4}.
Assim o ponto D é
D=A+\frac{3}{4}(B-A)=(1,2,1)+\frac{3}{4}(2,-2,4)=(1+\tfrac{3}{4}\cdot 2,\;2+\tfrac{3}{4}\cdot(-2),\;1+\tfrac{3}{4}\cdot 4).
Fazendo as contas:
D=\Big(1+\tfrac{3}{2},\;2-\tfrac{3}{2},\;1+3\Big)=\Big(\tfrac{5}{2},\;\tfrac{1}{2},\;4\Big).

Passo 3

Agora precisamos da área do triângulo C B D. Em \mathbb{R}^3, dada uma base em um vértice, a área do triângulo é metade da norma do produto vetorial entre dois lados que saem desse vértice. Especificamente, se tomarmos os vetores \overrightarrow{BC} e \overrightarrow{DC} (ou \overrightarrow{CB} e \overrightarrow{CD}), a área é
\text{Área}=\frac{1}{2}\,\big\lVert \overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{DC}\big\rVert.Á
Lembrete rápido sobre produto vetorial: para u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3),
u\times v=\big(u_2v_3-u_3v_2,\;-(u_1v_3-u_3v_1),\;u_1v_2-u_2v_1\big).
A norma \lVert\cdot\rVert é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes.
Vou escolher os vetores a partir de C:
\overrightarrow{BC}=B-C=(3,0,5)-(5,1,3)=(-2,-1,2),
\overrightarrow{DC}=D-C=\Big(\tfrac{5}{2},\tfrac{1}{2},4\Big)-(5,1,3)=\Big(-\tfrac{5}{2},-\tfrac{1}{2},1\Big).

Passo 4

Calculo o produto vetorial \overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{DC}. Usando a fórmula:
\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{DC}=\big( (-1)\cdot 1 - 2\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big),\; - \big((-2)\cdot 1 - 2\cdot\big(-\tfrac{5}{2}\big)\big),\; (-2)\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big) - (-1)\cdot\big(-\tfrac{5}{2}\big) \big).
Faço cada componente com calma:
  • Primeira componente:
(-1)\cdot 1 - 2\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big) = -1 +1 = 0.
  • Segunda componente:
- \big((-2)\cdot 1 - 2\cdot\big(-\tfrac{5}{2}\big)\big) = -\big(-2 +5\big) = -3.
  • Terceira componente:
(-2)\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big) - (-1)\cdot\big(-\tfrac{5}{2}\big) = 1 - \tfrac{5}{2} = -\tfrac{3}{2}.
Portanto
\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{DC}=\Big(0,\;-3,\;-\tfrac{3}{2}\Big).
A norma desse vetor é
\big\lVert \overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{DC}\big\rVert =\sqrt{0^{2}+(-3)^{2}+\big(-\tfrac{3}{2}\big)^{2}} =\sqrt{9+\tfrac{9}{4}}=\sqrt{\tfrac{45}{4}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}.
Finalmente, a área do triângulo é metade disso:
\text{Área}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{4}.Á

Resposta

\dfrac{3\sqrt{5}}{4}

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