Sejam a, b \in \mathbb{Z} com b \neq 0. Mostrar que
(a) |a b| \geq|a|.
(b) existe n \in \mathbb{Z} tal que n b \geq a.
(Explicite n no item (b))

Passo 1

Dados: a,b\in\mathbb{Z} com b\neq 0.
Pedir:
(a) Mostrar que |ab|\ge |a|.
(b) Mostrar que existe n\in\mathbb{Z} tal que n b \ge a, e explicitar um valor para n.

Passo 2

Entendendo (a) — propriedades de valor absoluto que usaremos.
Definição e propriedade útil: para quaisquer números reais x,y vale
|xy| = |x|\,|y|.
Isto é uma propriedade básica do módulo (valor absoluto): o módulo do produto é o produto dos módulos.
Como b\in\mathbb{Z} e b\neq 0, temos |b|\ge 1 (porque o único inteiro com |b|<1 é 0, que está excluído).
Agora, usando a propriedade acima com x=a e y=b obtemos
|ab| = |a|\,|b|.
Como |b|\ge 1, multiplicar |a| por |b| só pode deixar o valor igual ou maior que |a|. Formalmente,
|a|\,|b| \ge |a|\cdot 1 = |a|.
Portanto |ab|\ge |a|. Isso resolve (a). (Se |b|=1 temos igualdade; se |b|\ge2 é estritamente maior sempre que |a|>0.)

Passo 3

Preparando para (b) — ideia e ferramenta.
Queremos n\in\mathbb{Z} com n b \ge a. A maneira natural para problemas assim é olhar a razão \dfrac{a}{b}: se conseguirmos um inteiro n maior ou igual a \dfrac{a}{b} quando b>0, ou menor ou igual a \dfrac{a}{b} quando b<0, ao multiplicar por b obtemos a desigualdade desejada (lembre que dividir por número negativo inverte desigualdade).
Para construir tal n usarei o Algoritmo da Divisão (uma ferramenta padrão com inteiros): dado a\in\mathbb{Z} e d\in\mathbb{Z}_{>0}, existem inteiros únicos q,r tais que
a = q d + r,\qquad 0\le r < d.
Aqui q é a parte inteira (piso) de a/d e r é o resto. Vou aplicar isso com d=|b| (que é positivo).

Passo 4

Aplicando o Algoritmo da Divisão com d=|b|.
Seja d=|b|\\ (>0). Então existem q,r\in\mathbb{Z} com
a = q d + r,\qquad 0\le r < d.
Note que q=\left\lfloor \dfrac{a}{d}\right\rfloor e \dfrac{a}{d} = q + \dfrac{r}{d}.
Agora tratamos os dois sinais possíveis de b separadamente.

Passo 5

Caso b>0 (então b=d).
Da divisão vem
a = q b + r,\qquad 0\le r < b.
Isto implica
q b \le a < (q+1)b.
Logo (q+1)b \ge a. Portanto um inteiro que funciona é
n = q+1.
Observação prática: se r=0 já temos q b = a, então n=q também funciona; mas n=q+1 funciona sempre e é fácil de escrever.

Passo 6

Caso b<0 (então b=-d).
Da divisão com d=|b| temos novamente a = q d + r com 0\le r<d. Como b=-d podemos escrever
a = q(-b) + r = -q b + r.
Rearranjando,
a = (-q-1)b + (b+r).
Note que b+r é positivo porque b=-d<0 e b+r = -d + r com r<d, então b+r = -(d-r) é negativo? Wait — melhor calcular de forma direta para a desigualdade necessária. Multiplicando a = -q b + r por 1 e isolando (-q-1) b,
(-q-1)b = -q b - b = a - r - b.
Essa expressão é um pouco confusa; vamos usar raciocínio mais direto: temos a = q d + r com d=-b, portanto
a = q(-b) + r = -q b + r.
Como 0\le r < d = -b, subtrair r
a - r = -q b \quad\Rightarrow\quad -q b = a - r \le a.
Agora adicionando -b (que é positivo, pois -b=d>0) a ambos os lados:
(-q-1)b = -q b - b \ge a - b.
Esse caminho ficou confuso; vamos voltar a uma forma mais clara: partimos de a = q d + r com d=-b. Tomemos
n := -q-1.
Então
n b = (-q-1)b = -(q+1)b = (q+1)d = q d + d = a - r + d = a + (d-r).
Como 0\le r<d temos d-r>0, portanto
n b = a + (d-r) > a.
Assim n b \ge a. Logo para b<0 podemos escolher
n = -q-1.

Passo 7

Interpretação em termos de piso/ceiling (forma mais curta que se usa frequentemente).
Se preferir uma fórmula direta em termos de \dfrac{a}{b}:
  • Se b>0, escolha n=\left\lceil\dfrac{a}{b}\right\rceil. Então n\ge \dfrac{a}{b} e multiplicando por b>0 obtém-se n b \ge a.
  • Se b<0, escolha n=\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor. Então n\le \dfrac{a}{b} e multiplicando por b<0 (invertendo o sentido) obtém-se n b \ge a.
Essas fórmulas coincidem com as construções via divisão: no caso b>0 o q da divisão é \left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor e escolhemos n=q+1 (ou n=q se o resto for zero); no caso b<0 a escolha n=-q-1 equivale a n=\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor.

Resposta

(a) |ab|\ge |a|.
(b) Se b>0 escolha n=\left\lceil\dfrac{a}{b}\right\rceil. Se b<0 escolha n=\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor.

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