Sejam
com
. Mostrar que
(a)
.
(b) existe
tal que
.
(Explicite
no item (b))
(a)
(b) existe
(Explicite
Passo 1
Dados:
com
.
Pedir:
(a) Mostrar que .
(b) Mostrar que existe tal que
, e explicitar um valor para
.
Pedir:
(a) Mostrar que
(b) Mostrar que existe
Passo 2
Entendendo (a) — propriedades de valor absoluto que usaremos.
Definição e propriedade útil: para quaisquer números reais vale
Definição e propriedade útil: para quaisquer números reais
Isto é uma propriedade básica do módulo (valor absoluto): o módulo do produto é o produto dos módulos.
Como e
, temos
(porque o único inteiro com
é
, que está excluído).
Agora, usando a propriedade acima com e
obtemos
Como
Agora, usando a propriedade acima com
Como
, multiplicar
por
só pode deixar o valor igual ou maior que
. Formalmente,
Portanto
. Isso resolve (a). (Se
temos igualdade; se
é estritamente maior sempre que
.)
Passo 3
Preparando para (b) — ideia e ferramenta.
Queremos com
. A maneira natural para problemas assim é olhar a razão
: se conseguirmos um inteiro
maior ou igual a
quando
, ou menor ou igual a
quando
, ao multiplicar por
obtemos a desigualdade desejada (lembre que dividir por número negativo inverte desigualdade).
Para construir tal usarei o Algoritmo da Divisão (uma ferramenta padrão com inteiros): dado
e
, existem inteiros únicos
tais que
Queremos
Para construir tal
Aqui
é a parte inteira (piso) de
e
é o resto. Vou aplicar isso com
(que é positivo).
Passo 4
Aplicando o Algoritmo da Divisão com
.
Seja . Então existem
com
Seja
Note que
e
.
Agora tratamos os dois sinais possíveis de
separadamente.
Passo 5
Caso
(então
).
Da divisão vem
Da divisão vem
Isto implica
Logo
. Portanto um inteiro que funciona é
Observação prática: se
já temos
, então
também funciona; mas
funciona sempre e é fácil de escrever.
Passo 6
Caso
(então
).
Da divisão com temos novamente
com
. Como
podemos escrever
Da divisão com
Rearranjando,
Note que
é positivo porque
e
com
, então
é negativo? Wait — melhor calcular de forma direta para a desigualdade necessária. Multiplicando
por
e isolando
,
Essa expressão é um pouco confusa; vamos usar raciocínio mais direto: temos
com
, portanto
Como
, subtrair
dá
Agora adicionando
(que é positivo, pois
) a ambos os lados:
Esse caminho ficou confuso; vamos voltar a uma forma mais clara: partimos de
com
. Tomemos
Então
Como
temos
, portanto
Assim
. Logo para
podemos escolher
Passo 7
Interpretação em termos de piso/ceiling (forma mais curta que se usa frequentemente).
Se preferir uma fórmula direta em termos de :
Se preferir uma fórmula direta em termos de
- Se
, escolha . Então e multiplicando por obtém-se . - Se
, escolha . Então e multiplicando por (invertendo o sentido) obtém-se .
Essas fórmulas coincidem com as construções via divisão: no caso
o
da divisão é
e escolhemos
(ou
se o resto for zero); no caso
a escolha
equivale a
.
Resposta
(a)
.
(b) Se escolha
. Se
escolha
.
(b) Se