Sejam
e
números reais positivos. Verifique que o lugar geométrico cujas equações paramétricas são:
é uma hipérbole cujo eixo focal é o eixo
. Descreva a forma dessa hipérbole nos casos
e
.
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas
com
e
. O que pede:
- Verificar que o lugar geométrico é uma hipérbole.
- Mostrar que o eixo focal dessa hipérbole é o eixo
. - Descrever a forma da hipérbole nos casos
e .
Informações relevantes dadas:
- As funções trigonométricas envolvidas são
e . - Devemos usar identidades trigonométricas e eliminar o parâmetro
para obter uma equação cartesiana do lugar.]
Passo 2
Usar a identidade trigonométrica fundamental que liga
e
:
Substituo
e
em termos de
e
. Das paramétricas:
Agora plugando na identidade:
Passo 3
A equação encontrada é
Explico o que essa forma significa (passo-a-passo, como na prova):
- Uma hipérbole geral centrada na origem tem uma das formas padrão
(abre para a direita/esquerda) ou (abre para cima/baixo). - Aqui a forma é
, ou seja, o termo positivo está com . Isso indica que a hipérbole abre ao longo do eixo (cetros e vértices sobre o eixo ).
Portanto o lugar é uma hipérbole e o eixo focal (linha que passa pelos focos) é o eixo.
Passo 4
Determinar vértices, focos e cossas úteis (com passos detalhados):
- Vértices: para
(ou seja ) temos e (para ) e (para ). Portanto os vértices são
Isto confirma que a semi‑distância entre o centro e cada vértice é
(o semi-eixo transverso é
, no sentido vertical).
- Focos: para a hipérbole na forma
vale a relação
onde
é a distância do centro aos focos. Logo os focos são
(Isto é um resultado padrão para hipérboles; se precisar, em prova pode justificar comparando com a definição geométrica dos focos ou transformando coordenadas, mas aqui usou-se a fórmula clássica.)
- Excentricidade:
Passo 5
Equações das assíntotas (mostrando o cálculo passo a passo):
Começo da equação . Para pontos muito distantes (valores grandes de
e
) o termo
fica desprezível frente aos quadrados, então obtemos a aproximação
Começo da equação
Tomando raízes, as retas limites (assíntotas) são
Estas são as assíntotas que passam pela origem e descrevem a direção dos ramos da hipérbole.
Passo 6
Relacionar o parâmetro
às duas folhas e comentar alcance:
- Para
temos : isso produz a folha superior com e variando por toda a reta (já que atinge todos os reais no intervalo). - Para
(ou equivalente) temos : isso produz a folha inferior com .
Assim há duas folhas, uma acima do eixoe outra abaixo, como esperado para uma hipérbole com eixo vertical.
Passo 7
Descrever concretamente os dois casos pedidos, usando as quantidades obtidas (slope das assíntotas, vértices, forma visual):
- A inclinação das assíntotas é
. - Se
então : as assíntotas têm inclinação em valor absoluto maior que , ou seja, são mais “verticais” — os ramos da hipérbole ficam mais estreitos, apontando fortemente para cima e para baixo em relação ao eixo . Os vértices estão em e os focos em . - Se
então : as assíntotas têm inclinação em valor absoluto menor que , ou seja, são mais “horizontais” — os ramos da hipérbole são mais abertos (mais alongados lateralmente), embora ainda abram para cima e para baixo. Novamente vértices em e focos em .
Pequena intuição física: aumentar
(mantendo
fixo) diminui a inclinação
das assíntotas, alargando os ramos na direção horizontal; diminuir
os torna mais “apertados” em torno do eixo
.