Sejam a e b números reais positivos. Verifique que o lugar geométrico cujas equações paramétricas são:
\mathcal{H}:\left\{\begin{array}{l} x=a \operatorname{tg} t \\\ y=b \operatorname{sec} t \end{array}, t \in \mathbb{R}\right.
é uma hipérbole cujo eixo focal é o eixo y. Descreva a forma dessa hipérbole nos casos a<b e b<a.

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
\mathcal{H}:\begin{cases} x=a\operatorname{tg}t\\[4pt] y=b\operatorname{sec} t \end{cases},\qquad t\in\mathbb{R},
com a>0 e b>0. O que pede:
  • Verificar que o lugar geométrico é uma hipérbole.
  • Mostrar que o eixo focal dessa hipérbole é o eixo y.
  • Descrever a forma da hipérbole nos casos a<b e b<a.
Informações relevantes dadas:
  • As funções trigonométricas envolvidas são \operatorname{tg}t=\tan t e \operatorname{sec} t=1/\cos t.
  • Devemos usar identidades trigonométricas e eliminar o parâmetro t para obter uma equação cartesiana do lugar.]

Passo 2

Usar a identidade trigonométrica fundamental que liga \tan t e \operatorname{sec} t:
\operatorname{sec}^2 t-\tan^2 t = 1.
Substituo \tan t e \operatorname{sec} t em termos de x e y. Das paramétricas:
\tan t = \frac{x}{a}\quad\text{(peguei isso das equações paramétricas)}, \qquad \operatorname{sec} t = \frac{y}{b}\quad\text{(peguei isso das equações paramétricas)}.çõéçõé
Agora plugando na identidade:
\left(\frac{y}{b}\right)^2 - \left(\frac{x}{a}\right)^2 = 1.

Passo 3

A equação encontrada é
\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1.
Explico o que essa forma significa (passo-a-passo, como na prova):
  • Uma hipérbole geral centrada na origem tem uma das formas padrão \dfrac{x^2}{\alpha^2}-\dfrac{y^2}{\beta^2}=1 (abre para a direita/esquerda) ou \dfrac{y^2}{\beta^2}-\dfrac{x^2}{\alpha^2}=1 (abre para cima/baixo).
  • Aqui a forma é \dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{x^2}{a^2}=1, ou seja, o termo positivo está com y^2. Isso indica que a hipérbole abre ao longo do eixo y (cetros e vértices sobre o eixo y).
    Portanto o lugar é uma hipérbole e o eixo focal (linha que passa pelos focos) é o eixo y.

Passo 4

Determinar vértices, focos e cossas úteis (com passos detalhados):
  • Vértices: para \tan t=0 (ou seja t=0+\pi k) temos x=0 e y=b\operatorname{sec} 0 = b (para t=0) e y=-b (para t=\pi). Portanto os vértices são
(0,b)\quad\text{e}\quad(0,-b).
Isto confirma que a semi‑distância entre o centro e cada vértice é b (o semi-eixo transverso é b, no sentido vertical).
  • Focos: para a hipérbole na forma \dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{x^2}{a^2}=1 vale a relação
c^2 = a^2 + b^2,
onde c é a distância do centro aos focos. Logo os focos são
(0,c)\quad\text{e}\quad(0,-c),\qquad c=\sqrt{a^2+b^2}.
(Isto é um resultado padrão para hipérboles; se precisar, em prova pode justificar comparando com a definição geométrica dos focos ou transformando coordenadas, mas aqui usou-se a fórmula clássica.)
  • Excentricidade: \displaystyle e=\frac{c}{b}=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}>1.

Passo 5

Equações das assíntotas (mostrando o cálculo passo a passo):
Começo da equação \dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{x^2}{a^2}=1. Para pontos muito distantes (valores grandes de |x| e |y|) o termo 1 fica desprezível frente aos quadrados, então obtemos a aproximação
\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}\approx 0\quad\Longrightarrow\quad \left(\frac{y}{b}\right)^2 \approx \left(\frac{x}{a}\right)^2.
Tomando raízes, as retas limites (assíntotas) são
y = \pm \frac{b}{a}\,x.
Estas são as assíntotas que passam pela origem e descrevem a direção dos ramos da hipérbole.

Passo 6

Relacionar o parâmetro t às duas folhas e comentar alcance:
  • Para t\in(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}) temos \cos t>0\Rightarrow \operatorname{sec} t>0\Rightarrow y>0: isso produz a folha superior com y\ge b e x variando por toda a reta (já que \tan t atinge todos os reais no intervalo).
  • Para t\in(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}) (ou equivalente) temos \operatorname{sec} t<0\Rightarrow y<0: isso produz a folha inferior com y\le -b.
    Assim há duas folhas, uma acima do eixo x e outra abaixo, como esperado para uma hipérbole com eixo vertical.

Passo 7

Descrever concretamente os dois casos pedidos, usando as quantidades obtidas (slope das assíntotas, vértices, forma visual):
  • A inclinação das assíntotas é \pm \dfrac{b}{a}.
  • Se a<b então \dfrac{b}{a}>1: as assíntotas têm inclinação em valor absoluto maior que 1, ou seja, são mais “verticais” — os ramos da hipérbole ficam mais estreitos, apontando fortemente para cima e para baixo em relação ao eixo y. Os vértices estão em (0,\pm b) e os focos em (0,\pm\sqrt{a^2+b^2}).
  • Se a>b então \dfrac{b}{a}<1: as assíntotas têm inclinação em valor absoluto menor que 1, ou seja, são mais “horizontais” — os ramos da hipérbole são mais abertos (mais alongados lateralmente), embora ainda abram para cima e para baixo. Novamente vértices em (0,\pm b) e focos em (0,\pm\sqrt{a^2+b^2}).
Pequena intuição física: aumentar a (mantendo b fixo) diminui a inclinação |b/a| das assíntotas, alargando os ramos na direção horizontal; diminuir a os torna mais “apertados” em torno do eixo y.

Resposta

\text{Equação cartesiana:}\quad \frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1.çã
\text{Vértices: }(0,\pm b),\qquad\text{Focos: }(0,\pm\sqrt{a^2+b^2}),\qquad\text{Assíntotas: }y=\pm\frac{b}{a}x.éí
\text{Se }a<b:\\ \frac{b}{a}>1\Rightarrow\text{ramos mais estreitos (assíntotas mais inclinadas, abrem verticalmente).}í
\text{Se }a>b:\\ \frac{b}{a}<1\Rightarrow\text{ramos mais abertos (assíntotas menos inclinadas, abrem verticalmente).}í

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