Sejam \beta=\{(1,0),(0,1)\}, \beta_{1}=\{(-1,1),(1,1)\}, \beta_{2}=\{(\sqrt{3}, 1),(\sqrt{3},-1)\} e \beta_{3}=\{(2,0),(0,2)\} bases ordenadas de R^{3}
a) Ache as matrizes de mudança de base [I]_{\beta}^{\beta_{1}},[I]_{\beta_{1}}^{\beta},[I]_{\beta_{2}}^{\beta},[I]_{\beta_{3}}^{\beta}
b) Quais são as coordenadas do vetor v=(3,-2) em relação a cada base?
Passo 1
O enunciado dá quatro bases ordenadas (vou tratar o espaço como \mathbb{R}^{2}, porque os vetores dados têm duas componentes) e pede duas coisas:
Dados:
\beta=\{(1,0),(0,1)\}.
\beta_{1}=\{(-1,1),(1,1)\}.
\beta_{2}=\{(\sqrt{3},1),(\sqrt{3},-1)\}.
\beta_{3}=\{(2,0),(0,2)\}.
O vetor v=(3,-2).
O que se pede:
a) Calcular as matrizes de mudança de base [I]_{\beta}^{\beta_{1}}, [I]_{\beta_{1}}^{\beta}, [I]_{\beta_{2}}^{\beta}, [I]_{\beta_{3}}^{\beta}.
b) Determinar as coordenadas de v=(3,-2) em relação a cada base \beta,\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}.
Passo 2
Conceito prático (pequena aula): o que significa [I]_{B}^{C}
A notação [I]_{B}^{C} representa a matriz da transformação identidade quando se toma como base do domínio B e como base do contradomínio C. Na prática essa matriz converte coordenadas: se [x]_{B} são as coordenadas de um vetor x na base B, então
[x]_{C} = [I]_{B}^{C}\,[x]_{B}.
Como construir [I]_{B}^{C} na prática: colocar, coluna a coluna, as coordenadas na base C de cada vetor da base B. Ou seja, a j-ésima coluna de [I]_{B}^{C} é [b_j]_{C}, onde b_j é o j-ésimo vetor de B.
Vou aplicar isso passo a passo às matrizes pedidas.
Passo 3
Calcular [I]_{\beta_{1}}^{\beta}
Aqui B=\beta_{1} e C=\beta (base padrão). Então as colunas são simplesmente os vetores de \beta_{1} escritos nas coordenadas padrão (porque C=\beta é a base padrão).
Os vetores de \beta_{1} são (-1,1) e (1,1). Colocando-os como colunas, obtemos
(Explicação curta: a primeira coluna é o primeiro vetor de \beta_{1} em coordenadas padrão, a segunda coluna é o segundo vetor.)]
Passo 4
Calcular [[I]{\beta}^{\beta{1}})
Agora B=\beta (base padrão) e C=\beta_{1}. Pelas regras, cada coluna é o vetor da base padrão expresso na base \beta_{1}. Ou seja, precisamos escrever (1,0) e (0,1) como combinações lineares dos vetores de \beta_{1}.
Escrever (1,0)=a(-1,1)+b(1,1). Isso gera o sistema (componentes):
\begin{cases} - a + b = 1,\\[4pt] a + b = 0. \end{cases}
Resolver: somando as equações dá 2b=1\Rightarrow b=\tfrac{1}{2}\]. Então \[a=-b=-\tfrac{1}{2}. Logo a coordenada de (1,0) na base \beta_{1} é \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right).
Agora escrever (0,1)=a(-1,1)+b(1,1). Sistema:
\begin{cases} - a + b = 0,\\[4pt] a + b = 1. \end{cases}
Somando as equações: 2b=1\Rightarrow b=\tfrac{1}{2}\]. Então \(a=1-b=\tfrac{1}{2}. Logo a coordenada de (0,1) em \beta_{1} é \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right).
Para [I]_{\beta_{3}}^{\beta}: vetores de \beta_{3} são (2,0) e (0,2), então[I]_{\beta_{3}}^{\beta}=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.]
Passo 6
(checagem rápida e intuição) Relação entre [I]_{\beta}^{\beta_{1}} e [I]_{\beta_{1}}^{\beta}
Observação útil: [I]_{\beta}^{\beta_{1}} deve ser a inversa de [I]_{\beta_{1}}^{\beta}. Se multiplicarmos as duas, obtém-se a matriz identidade. Isso serve como verificação das contas.
Passo 7
Coordenadas do vetor v=(3,-2) nas diferentes bases — método geral
Para a base padrão \beta as coordenadas são triviais: [v]_{\beta}=(3,-2).
Para uma base B=\{b_1,b_2\}, para achar [v]_{B}=(\alpha,\beta) resolve-se v=\alpha b_1 + \beta b_2. Isso é um sistema linear 2\times2 que se resolve por álgebra linear simples (substituição, soma/subtração, ou inversão de matriz 2×2).
Passo 8
Coordenadas de [v) em \beta_{1}
Resolver (3,-2) = a(-1,1) + b(1,1). Sistema:
\begin{cases} - a + b = 3,\\[4pt] a + b = -2. \end{cases}
Somando as equações: 2b=1\Rightarrow b=\tfrac{1}{2}\]. Então \(a=-2-b=-2-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{5}{2}.
\begin{cases} \sqrt{3}(a+b) = 3,\\[4pt] a - b = -2. \end{cases}
Da primeira equação (a+b=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}]. Do sistema com a segunda, somando: 2a = \sqrt{3} - 2 \quad\Rightarrow\quad a = \dfrac{\sqrt{3}-2}{2}.
E 2b = \sqrt{3} + 2 \quad\Rightarrow\quad b = \dfrac{\sqrt{3}+2}{2}.