Sejam \beta=\{(1,0),(0,1)\}, \beta_{1}=\{(-1,1),(1,1)\}, \beta_{2}=\{(\sqrt{3}, 1),(\sqrt{3},-1)\} e \beta_{3}=\{(2,0),(0,2)\} bases ordenadas de R^{3}
a) Ache as matrizes de mudança de base [I]_{\beta}^{\beta_{1}},[I]_{\beta_{1}}^{\beta},[I]_{\beta_{2}}^{\beta},[I]_{\beta_{3}}^{\beta}
b) Quais são as coordenadas do vetor v=(3,-2) em relação a cada base?

Passo 1

O enunciado dá quatro bases ordenadas (vou tratar o espaço como \mathbb{R}^{2}, porque os vetores dados têm duas componentes) e pede duas coisas:
Dados:
  • \beta=\{(1,0),(0,1)\}.
  • \beta_{1}=\{(-1,1),(1,1)\}.
  • \beta_{2}=\{(\sqrt{3},1),(\sqrt{3},-1)\}.
  • \beta_{3}=\{(2,0),(0,2)\}.
  • O vetor v=(3,-2).
O que se pede:
a) Calcular as matrizes de mudança de base [I]_{\beta}^{\beta_{1}}, [I]_{\beta_{1}}^{\beta}, [I]_{\beta_{2}}^{\beta}, [I]_{\beta_{3}}^{\beta}.
b) Determinar as coordenadas de v=(3,-2) em relação a cada base \beta,\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}.

Passo 2

Conceito prático (pequena aula): o que significa [I]_{B}^{C}
  • A notação [I]_{B}^{C} representa a matriz da transformação identidade quando se toma como base do domínio B e como base do contradomínio C. Na prática essa matriz converte coordenadas: se [x]_{B} são as coordenadas de um vetor x na base B, então
[x]_{C} = [I]_{B}^{C}\,[x]_{B}.
  • Como construir [I]_{B}^{C} na prática: colocar, coluna a coluna, as coordenadas na base C de cada vetor da base B. Ou seja, a j-ésima coluna de [I]_{B}^{C} é [b_j]_{C}, onde b_j é o j-ésimo vetor de B.
Vou aplicar isso passo a passo às matrizes pedidas.

Passo 3

Calcular [I]_{\beta_{1}}^{\beta}
  • Aqui B=\beta_{1} e C=\beta (base padrão). Então as colunas são simplesmente os vetores de \beta_{1} escritos nas coordenadas padrão (porque C=\beta é a base padrão).
  • Os vetores de \beta_{1} são (-1,1) e (1,1). Colocando-os como colunas, obtemos
[I]_{\beta_{1}}^{\beta}=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
(Explicação curta: a primeira coluna é o primeiro vetor de \beta_{1} em coordenadas padrão, a segunda coluna é o segundo vetor.)]

Passo 4

Calcular [[I]{\beta}^{\beta{1}})
  • Agora B=\beta (base padrão) e C=\beta_{1}. Pelas regras, cada coluna é o vetor da base padrão expresso na base \beta_{1}. Ou seja, precisamos escrever (1,0) e (0,1) como combinações lineares dos vetores de \beta_{1}.
  • Escrever (1,0)=a(-1,1)+b(1,1). Isso gera o sistema (componentes):
\begin{cases} - a + b = 1,\\[4pt] a + b = 0. \end{cases}
Resolver: somando as equações dá 2b=1\Rightarrow b=\tfrac{1}{2}\]. Então \[a=-b=-\tfrac{1}{2}. Logo a coordenada de (1,0) na base \beta_{1} é \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right).
  • Agora escrever (0,1)=a(-1,1)+b(1,1). Sistema:
\begin{cases} - a + b = 0,\\[4pt] a + b = 1. \end{cases}
Somando as equações: 2b=1\Rightarrow b=\tfrac{1}{2}\]. Então \(a=1-b=\tfrac{1}{2}. Logo a coordenada de (0,1) em \beta_{1} é \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right).
  • Colocando essas coordenadas como colunas, obtemos
[I]_{\beta}^{\beta_{1}}=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular [I]_{\beta_{2}}^{\beta} e [I]_{\beta_{3}}^{\beta}
  • Para [I]_{\beta_{2}}^{\beta}: como o contradomínio é a base padrão, basta colocar os vetores de \beta_{2} como colunas (coordenadas padrão).
    • Vetores de \beta_{2}: (\sqrt{3},1) e (\sqrt{3},-1).
    • Assim
    [I]_{\beta_{2}}^{\beta}=\begin{pmatrix}\sqrt{3} & \sqrt{3}\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
  • Para [I]_{\beta_{3}}^{\beta}: vetores de \beta_{3} são (2,0) e (0,2), então [I]_{\beta_{3}}^{\beta}=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 6

(checagem rápida e intuição) Relação entre [I]_{\beta}^{\beta_{1}} e [I]_{\beta_{1}}^{\beta}
  • Observação útil: [I]_{\beta}^{\beta_{1}} deve ser a inversa de [I]_{\beta_{1}}^{\beta}. Se multiplicarmos as duas, obtém-se a matriz identidade. Isso serve como verificação das contas.

Passo 7

Coordenadas do vetor v=(3,-2) nas diferentes bases — método geral
  • Para a base padrão \beta as coordenadas são triviais: [v]_{\beta}=(3,-2).
  • Para uma base B=\{b_1,b_2\}, para achar [v]_{B}=(\alpha,\beta) resolve-se v=\alpha b_1 + \beta b_2. Isso é um sistema linear 2\times2 que se resolve por álgebra linear simples (substituição, soma/subtração, ou inversão de matriz 2×2).

Passo 8

Coordenadas de [v) em \beta_{1}
  • Resolver (3,-2) = a(-1,1) + b(1,1). Sistema:
\begin{cases} - a + b = 3,\\[4pt] a + b = -2. \end{cases}
Somando as equações: 2b=1\Rightarrow b=\tfrac{1}{2}\]. Então \(a=-2-b=-2-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{5}{2}.
  • Logo
[v]_{\beta_{1}}=\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 9

Coordenadas de [v) em \beta_{2}
  • Resolver (3,-2) = a(\sqrt{3},1) + b(\sqrt{3},-1). Escrevendo componentes:
\begin{cases} \sqrt{3}(a+b) = 3,\\[4pt] a - b = -2. \end{cases}
Da primeira equação (a+b=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}]. Do sistema com a segunda, somando:
2a = \sqrt{3} - 2 \quad\Rightarrow\quad a = \dfrac{\sqrt{3}-2}{2}.
E
2b = \sqrt{3} + 2 \quad\Rightarrow\quad b = \dfrac{\sqrt{3}+2}{2}.
  • Assim
[v]_{\beta_{2}}=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{3}-2}{2}\\[6pt] \dfrac{\sqrt{3}+2}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 10

Coordenadas de v em \beta_{3}
  • Resolver (3,-2) = a(2,0) + b(0,2) = (2a,2b). Então 2a=3\Rightarrow a=\tfrac{3}{2} e 2b=-2\Rightarrow b=-1.
  • Logo
[v]_{\beta_{3}}=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Resposta

[I]_{\beta}^{\beta_{1}}=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}
[I]_{\beta_{1}}^{\beta}=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}
[I]_{\beta_{2}}^{\beta}=\begin{pmatrix}\sqrt{3} & \sqrt{3}\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}
[I]_{\beta_{3}}^{\beta}=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}
[v]_{\beta}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-2\end{pmatrix}
[v]_{\beta_{1}}=\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}
[v]_{\beta_{2}}=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{3}-2}{2}\\[6pt]\dfrac{\sqrt{3}+2}{2}\end{pmatrix}
[v]_{\beta_{3}}=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[4pt]-1\end{pmatrix}]

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