Sejam \boldsymbol{u}=(1,2,-3), \boldsymbol{v}=(0,4,-1) e \boldsymbol{w}=(7,1,-4). Encontre os componentes de
3(2 \boldsymbol{u}-\boldsymbol{v})

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\boldsymbol{u}=(1,2,-3), \boldsymbol{v}=(0,4,-1) e \boldsymbol{w}=(7,1,-4).
Pede para encontrar os componentes de
3\bigl(2\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}\bigr).

Passo 2

Vamos revisar as regras básicas de operações com vetores em \mathbb{R}^3 (isso é tudo que precisa para resolver o exercício):
  • Se \boldsymbol{a}=(a_1,a_2,a_3) e c é um escalar, então a multiplicação escalar é
c\boldsymbol{a}=(c a_1,\; c a_2,\; c a_3).
Isto significa: multiplica-se cada componente do vetor pelo escalar.
  • Se \boldsymbol{a}=(a_1,a_2,a_3) e \boldsymbol{b}=(b_1,b_2,b_3), então a subtração é
\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(a_1-b_1,\; a_2-b_2,\; a_3-b_3).
Ou seja: subtrai-se componente a componente.
  • A ordem de operações segue a aritmética normal: faça primeiro a operação dentro dos parênteses \bigl(2\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}\bigr), depois multiplique o resultado por 3.

Passo 3

Calcular 2\boldsymbol{u} aplicando a regra da multiplicação escalar componente a componente:
2\boldsymbol{u}=2(1,2,-3)=(2\cdot1,\;2\cdot2,\;2\cdot(-3))=(2,4,-6).

Passo 4

Calcular agora 2\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v} subtraindo componente a componente (usei os valores de \boldsymbol{v} que o enunciado deu):
2\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}=(2,4,-6)-(0,4,-1)=(2-0,\;4-4,\;-6-(-1))=(2,0,-5).

Passo 5

Multiplicar o vetor obtido por 3, novamente multiplicando cada componente pelo escalar:
3\bigl(2\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}\bigr)=3(2,0,-5)=(3\cdot2,\;3\cdot0,\;3\cdot(-5))=(6,0,-15).

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, para ganhar confiança): usar distributividade
3(2\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v})=6\boldsymbol{u}-3\boldsymbol{v}.
Calculando 6\boldsymbol{u}=(6,12,-18) e 3\boldsymbol{v}=(0,12,-3) e subtraindo:
(6,12,-18)-(0,12,-3)=(6,0,-15),
que confere com o resultado anterior.

Resposta

(6,0,-15)

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