Sejam \boldsymbol{u}=(1,2,-3), \boldsymbol{v}=(0,4,-1) e \boldsymbol{w}=(7,1,-4). Encontre os componentes de
o produto escalar \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede o produto escalar entre \boldsymbol{u} e \boldsymbol{v}. As informações fornecidas são:
\boldsymbol{u}=(1,2,-3),\qquad \boldsymbol{v}=(0,4,-1).
A pergunta é: calcular o valor numérico do produto escalar \boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}.

Passo 2

Definição e fórmula do produto escalar (explicação didática).
Sejam dois vetores em \mathbb{R}^3,
\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,a_3),\qquad \boldsymbol{b}=(b_1,b_2,b_3).
O produto escalar \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} é definido por
\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
O que isso significa, passo a passo:
  • Cada componente do primeiro vetor é multiplicada pela componente correspondente do segundo vetor: a_1 com b_1, a_2 com b_2, a_3 com b_3.
  • Em seguida, soma-se esses três produtos.
  • O resultado é um número (um escalar), não um vetor.
    Propriedades úteis (rápido aviso): o produto escalar é comutativo, isto é \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}.

Passo 3

Identificar componentes dos vetores dados para aplicar a fórmula.
Escrevendo componentes:
\boldsymbol{u}=(u_1,u_2,u_3)=(1,2,-3), \qquad \boldsymbol{v}=(v_1,v_2,v_3)=(0,4,-1).
Aplicando a fórmula do produto escalar:
\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.

Passo 4

Calcular cada termo separadamente (mostrando sinais e contas):
u_1v_1=1\cdot 0=0,
u_2v_2=2\cdot 4=8,
u_3v_3=(-3)\cdot(-1)=3.
Agora somamos os três termos:
0+8+3=11.

Resposta

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