Sejam A uma matriz quadrada e n um inteiro não negativo. Definimos a potência de base A e expoente n, denotada por A^{n}, por recorrência, como se segue: A^{0}=I (matriz identidade) e A^{n}=\underbrace{A \cdot A \cdots A}_{n \text { vezes }}, n>0. Sendo A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right), calcule a potência A^{2025}.
Passo 1
O enunciado dá a definição de potência de uma matriz por recorrência: A^{0}=I e, para n>0, A^{n}=A\cdot A\cdots A (produto de n cópias de A). A matriz dada é
A pergunta é: calcular A^{2025}. Informações relevantes: A é uma matriz 2\times2, especificada acima, e o expoente é o inteiro não negativo 2025. Não precisamos de nada além disso para resolver.]
Passo 2
Vamos lembrar como multiplicar matrizes 2\times2. Se
Já dá para suspeitar o padrão: parece que o elemento da posição (2,1) é igual ao expoente n, enquanto as outras entradas permanecem 1 na diagonal e 0 na posição (1,2).]
Passo 5
Conjectura (padrão): para todo inteiro não negativo n vale
A^{n}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] n & 1\end{pmatrix}.
Agora vamos provar essa afirmação por indução matemática, que é uma forma padrão de provar propriedades que dependem de um inteiro n.]
Passo 6
Base da indução: para n=0 temos A^{0}=I=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}, que coincide com a fórmula acima colocando n=0. Para n=1 temos A^{1}=A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}, também coincide.]
Passo 7
Passo indutivo: suponha que para algum k\ge0 a fórmula seja verdadeira, isto é,
A^{k}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] k & 1\end{pmatrix}.