Sejam A uma matriz quadrada e n um inteiro não negativo. Definimos a potência de base A e expoente n, denotada por A^{n}, por recorrência, como se segue: A^{0}=I (matriz identidade) e A^{n}=\underbrace{A \cdot A \cdots A}_{n \text { vezes }}, n>0. Sendo A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right), calcule a potência A^{2025}.

Passo 1

O enunciado dá a definição de potência de uma matriz por recorrência: A^{0}=I e, para n>0, A^{n}=A\cdot A\cdots A (produto de n cópias de A). A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
A pergunta é: calcular A^{2025}. Informações relevantes: A é uma matriz 2\times2, especificada acima, e o expoente é o inteiro não negativo 2025. Não precisamos de nada além disso para resolver.]

Passo 2

Vamos lembrar como multiplicar matrizes 2\times2. Se
X=\begin{pmatrix}x_{11} & x_{12} \\[4pt] x_{21} & x_{22}\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}y_{11} & y_{12} \\[4pt] y_{21} & y_{22}\end{pmatrix},
então o produto XY é a matriz cujas entradas são dadas por somas de produtos das linhas de X pelas colunas de Y:
XY=\begin{pmatrix} x_{11}y_{11}+x_{12}y_{21} & x_{11}y_{12}+x_{12}y_{22} \\[6pt] x_{21}y_{11}+x_{22}y_{21} & x_{21}y_{12}+x_{22}y_{22} \end{pmatrix}.
Vou usar essa definição explicitamente nas multiplicações que seguem.]

Passo 3

Calculemos A^{2}=A\cdot A aplicando a fórmula acima. Escrevendo as entradas de A como a_{11}=1, a_{12}=0, a_{21}=1, a_{22}=1, temos
A^{2}= \begin{pmatrix} 1\cdot1+0\cdot1 & 1\cdot0+0\cdot1 \\[4pt] 1\cdot1+1\cdot1 & 1\cdot0+1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculemos também A^{3}=A^{2}\cdot A para ver um padrão. Usando A^{2}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix} e multiplicando por A, obtemos
A^{3}= \begin{pmatrix} 1\cdot1+0\cdot1 & 1\cdot0+0\cdot1 \\[4pt] 2\cdot1+1\cdot1 & 2\cdot0+1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}.
Já dá para suspeitar o padrão: parece que o elemento da posição (2,1) é igual ao expoente n, enquanto as outras entradas permanecem 1 na diagonal e 0 na posição (1,2).]

Passo 5

Conjectura (padrão): para todo inteiro não negativo n vale
A^{n}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] n & 1\end{pmatrix}.
Agora vamos provar essa afirmação por indução matemática, que é uma forma padrão de provar propriedades que dependem de um inteiro n.]

Passo 6

Base da indução: para n=0 temos A^{0}=I=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}, que coincide com a fórmula acima colocando n=0. Para n=1 temos A^{1}=A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}, também coincide.]

Passo 7

Passo indutivo: suponha que para algum k\ge0 a fórmula seja verdadeira, isto é,
A^{k}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] k & 1\end{pmatrix}.
Então
A^{k+1}=A^{k}\cdot A= \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] k & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Aplicando a regra de multiplicação:
A^{k+1}= \begin{pmatrix} 1\cdot1+0\cdot1 & 1\cdot0+0\cdot1 \\[6pt] k\cdot1+1\cdot1 & k\cdot0+1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] k+1 & 1\end{pmatrix}.
Isso mostra que, se a fórmula vale para k, vale também para k+1. Assim, por indução, a fórmula é verdadeira para todo inteiro n\ge0.]

Passo 8

Aplicando a fórmula ao caso pedido n=2025, obtemos diretamente
A^{2025}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 2025 & 1\end{pmatrix}.]

Resposta

A^{2025}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 2025 & 1\end{pmatrix}]

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