Sejam a e n inteiros positivos. Determine o m d c de:
b) a e a^{n}

Passo 1

O enunciado dá que a e n são inteiros positivos e pede o máximo divisor comum (mdc) entre a e a^{n}.
Informações relevantes:
  • a é inteiro positivo (portanto a\ge1).
  • n é inteiro positivo (portanto n\ge1).
  • Precisa-se determinar \gcd(a,a^{n}), isto é, o maior inteiro positivo que divide simultaneamente a e a^{n}.

Passo 2

Lembra do que significa \gcd: \gcd(x,y) é o maior inteiro positivo que divide tanto x quanto y. Escrevendo em linguagem de divisibilidade, se d=\gcd(x,y) então:
d\mid x,\qquad d\mid y,
e todo c tal que c\mid x e c\mid y satisfaz c\le d.
Uma propriedade simples e útil: se x\mid y (isto é, y é múltiplo de x), então
\gcd(x,y)=x.
Justificativa curta dessa propriedade: se x\mid y então qualquer divisor comum de x e y divide x; portanto o maior divisor comum possível é x ele próprio.

Passo 3

Aplicando a propriedade acima ao nosso caso: para n\ge1 vale
a^{n}=a\cdot a^{\,n-1},
logo a\mid a^{n}. Pelo item anterior, se um número divide o outro, o mdc é o menor (o que divide o outro), portanto
\gcd(a,a^{n})=a.
Isso já resolve o problema de forma direta: como a divide a^{n}, o maior divisor comum é a mesmo.

Passo 4

Para reforçar (prova alternativa que ajuda a entender): usar fatoração em primos. Escreva
a=\prod_{i} p_{i}^{\alpha_{i}},
onde os p_{i} são primos distintos e os \alpha_{i}\ge1 são os expoentes. Então
a^{n}=\prod_{i} p_{i}^{n\alpha_{i}}.
O \gcd retém, para cada primo p_{i}, o menor expoente entre os dois números, ou seja
\gcd(a,a^{n})=\prod_{i} p_{i}^{\min(\alpha_{i},\,n\alpha_{i})}.
Como \min(\alpha_{i},\,n\alpha_{i})=\alpha_{i} (pois n\ge1), obtemos
\gcd(a,a^{n})=\prod_{i} p_{i}^{\alpha_{i}}=a.
Essa abordagem confirma o resultado anterior de maneira fatorada.

Passo 5

Exemplos rápidos para fixar e dar confiança:
  • Se a=6 e n=3, então a^{n}=216 e \gcd(6,216)=6.
  • Se a=7 e n=5, então a^{n}=7^{5} e \gcd(7,7^{5})=7.
Você já pode usar essa ideia direto na prova: sempre que um número divide o outro, o mdc é justamente o menor deles — aqui a divide a^{n}, então o mdc é a. Força aí, tá indo bem!

Resposta

a

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