Sejam
e
inteiros positivos. Determine o
de:
b)
e
b)
Passo 1
O enunciado dá que
e
são inteiros positivos e pede o máximo divisor comum (mdc) entre
e
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
-
é inteiro positivo (portanto ). -
é inteiro positivo (portanto ). - Precisa-se determinar
, isto é, o maior inteiro positivo que divide simultaneamente e .
Passo 2
Lembra do que significa
:
é o maior inteiro positivo que divide tanto
quanto
. Escrevendo em linguagem de divisibilidade, se
então:
e todo
tal que
e
satisfaz
.
Uma propriedade simples e útil: se
(isto é,
é múltiplo de
), então
Justificativa curta dessa propriedade: se
então qualquer divisor comum de
e
divide
; portanto o maior divisor comum possível é
ele próprio.
Passo 3
Aplicando a propriedade acima ao nosso caso: para
vale
logo
. Pelo item anterior, se um número divide o outro, o mdc é o menor (o que divide o outro), portanto
Isso já resolve o problema de forma direta: como
divide
, o maior divisor comum é
mesmo.
Passo 4
Para reforçar (prova alternativa que ajuda a entender): usar fatoração em primos. Escreva
onde os
são primos distintos e os
são os expoentes. Então
O
retém, para cada primo
, o menor expoente entre os dois números, ou seja
Como
(pois
), obtemos
Essa abordagem confirma o resultado anterior de maneira fatorada.
Passo 5
Exemplos rápidos para fixar e dar confiança:
- Se
e , então e . - Se
e , então e .
Você já pode usar essa ideia direto na prova: sempre que um número divide o outro, o mdc é justamente o menor deles — aqui
divide
, então o mdc é
. Força aí, tá indo bem!