Sejam
e
inteiros positivos. Determine o
de:
a)
e
a)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o máximo divisor comum de
e
, sabendo que
e
são inteiros positivos.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é um inteiro positivo; -
é um inteiro positivo; - os dois números cujo mdc queremos são
e .
Passo 2
Relembrando o que significa
: é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente
e
. Duas propriedades úteis de divisibilidade que vamos usar (explicadas em palavras simples):
- Se um número
divide (escrevemos ), então é um divisor de . - O máximo divisor comum de
e divide cada um deles: se então e .
Passo 3
Observação direta: como
é um inteiro, vale
(ou seja,
é múltiplo de
). Isto significa que
é um divisor comum de
e
. Pelo fato de o
ser o maior divisor comum, o
não pode ser menor do que
em termos de divisibilidade; em termos numéricos positivos isso nos dá
Passo 4
Por outro lado, seja
. Como
é divisor de
(propriedade do
), temos
. Como
é um divisor positivo de
, numericamente isso implica
Passo 5
Juntando os resultados dos passos anteriores: temos
satisfazendo simultaneamente
e
. A única possibilidade é
Logo o máximo divisor comum de
e
é
.
Passo 6
(Prova alternativa — fatoração em primos, rápida e intuitiva.) Se escrever
na fatoração em primos e
(alguns
podem ser zero), então
O expoente do primo
no
é
. Portanto a fatoração do
coincide com a de
, mostrando novamente que
.
Passo 7
Exemplo numérico (para fixar a ideia): escolha
e
. Então
e
, que é exatamente
.