Sejam a e n inteiros positivos. Determine o m d c de:
a) a e n a

Passo 1

O enunciado pede: determinar o máximo divisor comum de a e n a, sabendo que a e n são inteiros positivos.
Informações dadas:
  • a é um inteiro positivo;
  • n é um inteiro positivo;
  • os dois números cujo mdc queremos são a e n a.

Passo 2

Relembrando o que significa d=\gcd(x,y): é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente x e y. Duas propriedades úteis de divisibilidade que vamos usar (explicadas em palavras simples):
  • Se um número u divide v (escrevemos u\mid v), então u é um divisor de v.
  • O máximo divisor comum de x e y divide cada um deles: se g=\gcd(x,y) então g\mid x e g\mid y.

Passo 3

Observação direta: como a é um inteiro, vale a\mid n a (ou seja, n a é múltiplo de a). Isto significa que a é um divisor comum de a e n a. Pelo fato de o \gcd ser o maior divisor comum, o \gcd(a,n a) não pode ser menor do que a em termos de divisibilidade; em termos numéricos positivos isso nos dá
\gcd(a,n a)\ge a.

Passo 4

Por outro lado, seja g=\gcd(a,n a). Como g é divisor de a (propriedade do \gcd), temos g\mid a. Como g é um divisor positivo de a, numericamente isso implica
g\le a.

Passo 5

Juntando os resultados dos passos anteriores: temos g=\gcd(a,n a) satisfazendo simultaneamente g\ge a e g\le a. A única possibilidade é
g=a.
Logo o máximo divisor comum de a e n a é a.

Passo 6

(Prova alternativa — fatoração em primos, rápida e intuitiva.) Se escrever a=\prod p_i^{\alpha_i} na fatoração em primos e n=\prod p_i^{\beta_i} (alguns \beta_i podem ser zero), então
n a=\prod p_i^{\alpha_i+\beta_i}.
O expoente do primo p_i no \gcd(a,n a) é \min(\alpha_i,\alpha_i+\beta_i)=\alpha_i. Portanto a fatoração do \gcd coincide com a de a, mostrando novamente que \gcd(a,n a)=a.

Passo 7

Exemplo numérico (para fixar a ideia): escolha a=6 e n=5. Então n a=30 e \gcd(6,30)=6, que é exatamente a.

Resposta

a

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