Sejam S=\{(-1,1),(1,2)\} e S^{\prime} duas bases de \mathbb{R}^{2} e [I]_{S^{\prime}}^{S}=\left(\begin{array}{rr}1 & 2 \\\\ -2 & -1\end{array}\right) a matriz de mudança de base de S para S^{\prime}.
a) Encontre as coordenadas do vetor v=(3,2) na base S e na base S^{\prime}.
b) Determine a matriz de mudança de base [I]_{S}^{S^{\prime}} de S^{\prime} para S.
c) Use o item anterior para determinar S^{\prime}.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
Dados:
A base S é S=\{u_{1},u_{2}\} com u_{1}=(-1,1) e u_{2}=(1,2).
A base S^{\prime} é desconhecida: S^{\prime}=\{w_{1},w_{2}\} (procurar).
A matriz de mudança de base "de S para S^{\prime}" é fornecida como[I]_{S^{\prime}}^{S}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] -2 & -1\end{pmatrix}.(Isto significa que essa matriz transforma coordenadas relativas à base S em coordenadas relativas à base S^{\prime}. Em notação: [v]_{S^{\prime}}=[I]_{S^{\prime}}^{S}\,[v]_{S}.)
O vetor v no sistema canônico é v=(3,2).
O enunciado pede:
(a) encontrar as coordenadas de v na base S (ou seja, [v]_{S}) e na base S^{\prime} (ou seja, [v]_{S^{\prime}});
(b) determinar a matriz de mudança de base [I]_{S}^{S^{\prime}} (de S^{\prime} para S);
(c) usar (b) para determinar explicitamente os vetores que formam S^{\prime}, ou seja, w_{1} e w_{2}.]
Passo 2
Encontrar [v]_{S} (coordenadas de v na base S).
Por definição, [v]_{S}=(a,b)^{T} significa que
v = a\,u_{1} + b\,u_{2}.
Aqui u_{1}=(-1,1) e u_{2}=(1,2). Escrevendo coordenadas no sistema canônico, isso dá o sistema linear
a(-1)+b(1)=3, \qquad a(1)+b(2)=2.
Em forma mais clara:
-a + b = 3, \qquad a + 2b = 2.
Resolver o sistema. Da primeira equação vem a=b-3. Substituindo na segunda:
(Comentário curto: resolver para as coordenadas significa escrever o vetor como combinação linear dos vetores da base e resolver o sistema para os coeficientes.)]
Passo 3
Encontrar [v]_{S^{\prime}} usando a matriz de mudança de base dada.
Lembre que [I]_{S^{\prime}}^{S} transforma coordenadas de S para coordenadas de S^{\prime}:
Determinar S^{\prime}=\{w_{1},w_{2}\} usando a relação entre as matrizes de base.
Seja U a matriz cujas colunas são os vetores da base S expressos nas coordenadas canônicas:
U = \begin{pmatrix} -1 & 1\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix},
pois u_{1}=(-1,1) e u_{2}=(1,2).
Seja W a matriz cujas colunas são w_{1} e w_{2} em coordenadas canônicas:
W = \begin{pmatrix} w_{1} & w_{2} \end{pmatrix}.
A relação entre U, W e a matriz de mudança A=[I]_{S^{\prime}}^{S} é
U = W \, A,
porque as colunas de A são as coordenadas de u_{1},u_{2} na base S^{\prime}: [u_j]_{S'} = coluna j de A, logo u_j = w_{1}\cdot A_{1j} + w_{2}\cdot A_{2j}.
Isolando W:
W = U\,A^{-1}.
Já calculamos A^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}-1 & -2\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}. Calcular U A^{-1}: