Sejam S=\{(-1,1),(1,2)\} e S^{\prime} duas bases de \mathbb{R}^{2} e [I]_{S^{\prime}}^{S}=\left(\begin{array}{rr}1 & 2 \\\\ -2 & -1\end{array}\right) a matriz de mudança de base de S para S^{\prime}.
a) Encontre as coordenadas do vetor v=(3,2) na base S e na base S^{\prime}.
b) Determine a matriz de mudança de base [I]_{S}^{S^{\prime}} de S^{\prime} para S.
c) Use o item anterior para determinar S^{\prime}.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dados:
    • A base S é S=\{u_{1},u_{2}\} com u_{1}=(-1,1) e u_{2}=(1,2).
    • A base S^{\prime} é desconhecida: S^{\prime}=\{w_{1},w_{2}\} (procurar).
    • A matriz de mudança de base "de S para S^{\prime}" é fornecida como [I]_{S^{\prime}}^{S}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] -2 & -1\end{pmatrix}.(Isto significa que essa matriz transforma coordenadas relativas à base S em coordenadas relativas à base S^{\prime}. Em notação: [v]_{S^{\prime}}=[I]_{S^{\prime}}^{S}\,[v]_{S}.)
    • O vetor v no sistema canônico é v=(3,2).
  • O enunciado pede:
    (a) encontrar as coordenadas de v na base S (ou seja, [v]_{S}) e na base S^{\prime} (ou seja, [v]_{S^{\prime}});
    (b) determinar a matriz de mudança de base [I]_{S}^{S^{\prime}} (de S^{\prime} para S);
    (c) usar (b) para determinar explicitamente os vetores que formam S^{\prime}, ou seja, w_{1} e w_{2}.]

Passo 2

Encontrar [v]_{S} (coordenadas de v na base S).
  • Por definição, [v]_{S}=(a,b)^{T} significa que
    v = a\,u_{1} + b\,u_{2}.
    Aqui u_{1}=(-1,1) e u_{2}=(1,2). Escrevendo coordenadas no sistema canônico, isso dá o sistema linear
    a(-1)+b(1)=3, \qquad a(1)+b(2)=2.
    Em forma mais clara:
    -a + b = 3, \qquad a + 2b = 2.
  • Resolver o sistema. Da primeira equação vem a=b-3. Substituindo na segunda:
    (b-3) + 2b = 2 \quad\Rightarrow\quad 3b -3 = 2 \quad\Rightarrow\quad 3b = 5 \quad\Rightarrow\quad b=\tfrac{5}{3}.
    Então
    a = b-3 = \tfrac{5}{3}-3 = \tfrac{5}{3}-\tfrac{9}{3} = -\tfrac{4}{3}.
  • Portanto as coordenadas de v na base S são
    [v]_{S} = \begin{pmatrix} -\tfrac{4}{3} \\[4pt] \tfrac{5}{3} \end{pmatrix}.
(Comentário curto: resolver para as coordenadas significa escrever o vetor como combinação linear dos vetores da base e resolver o sistema para os coeficientes.)]

Passo 3

Encontrar [v]_{S^{\prime}} usando a matriz de mudança de base dada.
  • Lembre que [I]_{S^{\prime}}^{S} transforma coordenadas de S para coordenadas de S^{\prime}:
    [v]_{S^{\prime}} = [I]_{S^{\prime}}^{S}\,[v]_{S}.
  • Substituindo os valores:
    [v]_{S^{\prime}} = \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] -2 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\tfrac{4}{3} \\[4pt] \tfrac{5}{3} \end{pmatrix}.
  • Calcular componente a componente:
    \text{primeira componente} = 1\cdot\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr) + 2\cdot\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr) = \tfrac{-4+10}{3} = \tfrac{6}{3} = 2,
\text{segunda componente} = -2\cdot\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr) + (-1)\cdot\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr) = \tfrac{8-5}{3} = \tfrac{3}{3} = 1.
  • Logo [v]_{S^{\prime}} = \begin{pmatrix}2 \\[4pt] 1\end{pmatrix}.
(Interpretação: na base S^{\prime} o vetor v é 2 vezes w_{1} mais 1 vez w_{2}.)]

Passo 4

Determinar [I]_{S}^{S^{\prime}} (a matriz de mudança de base de S^{\prime} para S), que é a inversa de [I]_{S^{\prime}}^{S}.
  • Para uma matriz 2\times2
    A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
    a inversa, quando existe, é
    A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
  • Aplicando isso à matriz dada A=[I]_{S^{\prime}}^{S}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix}:
    \det(A) = 1\cdot(-1) - 2\cdot(-2) = -1 + 4 = 3.
    Assim
    A^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 & -2\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}.
  • Portanto
    [I]_{S}^{S^{\prime}} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 & -2\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Determinar S^{\prime}=\{w_{1},w_{2}\} usando a relação entre as matrizes de base.
  • Seja U a matriz cujas colunas são os vetores da base S expressos nas coordenadas canônicas:
    U = \begin{pmatrix} -1 & 1\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix},
    pois u_{1}=(-1,1) e u_{2}=(1,2).
  • Seja W a matriz cujas colunas são w_{1} e w_{2} em coordenadas canônicas:
    W = \begin{pmatrix} w_{1} & w_{2} \end{pmatrix}.
  • A relação entre U, W e a matriz de mudança A=[I]_{S^{\prime}}^{S} é
    U = W \, A,
    porque as colunas de A são as coordenadas de u_{1},u_{2} na base S^{\prime}: [u_j]_{S'} = coluna j de A, logo u_j = w_{1}\cdot A_{1j} + w_{2}\cdot A_{2j}.
  • Isolando W:
    W = U\,A^{-1}.
  • Já calculamos A^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}-1 & -2\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}. Calcular U A^{-1}:
    U\begin{pmatrix}-1 & -2\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & -2\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 3\\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix}.
    Agora multiplicar por \tfrac{1}{3}:
    W = U A^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}3 & 3\\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
  • As colunas de W são exatamente w_{1} e w_{2} nas coordenadas canônicas. Portanto
    w_{1} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}, \qquad w_{2} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
(Verificação rápida mental: usando esses w_{1},w_{2} obtém-se u_{1}=1\cdot w_{1}+(-2)\cdot w_{2}= (1,1)-2(1,0)=(-1,1) e u_{2}=2w_{1}+(-1)w_{2}=2(1,1)-(1,0)=(1,2), conforme exigido.)]

Resposta

[v]_{S}=\begin{pmatrix}-\tfrac{4}{3}\\[4pt]\tfrac{5}{3}\end{pmatrix},\quad [v]_{S^{\prime}}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}
[I]_{S}^{S^{\prime}}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}-1 & -2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}
S^{\prime}=\{\, (1,1),\; (1,0)\,\}]

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