Sejam u, v, w \in \mathbb{R}^{3}. Marque a opçāo cujos vetores não formam uma base de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores u,v,w\in\mathbb{R}^3 e pede: marcar a opção cujos vetores não formam uma base de \mathbb{R}^3. Informação importante que falta: as opções (as listas concretas de vetores) não foram fornecidas.
Portanto não há dados suficientes para decidir qual alternativa é a correta entre opções específicas.

Passo 2

O que precisamos decidir na prova (em linguagem simples): dado um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^3, verificar se esses três vetores formam uma base de \mathbb{R}^3. Vou explicar passo a passo como fazer essa verificação de modo que você consiga aplicar diretamente quando tiver as opções na prova.

Passo 3

Conceito chave (explicado devagar): três vetores u,v,w formam uma base de \mathbb{R}^3 exatamente quando duas coisas equivalentes acontecem:
  • os vetores são linearmente independentes (ou seja, a única solução do sistema \alpha u+\beta v+\gamma w=0 é \alpha=\beta=\gamma=0), e
  • ou, equivalentemente, quando eles geram todo \mathbb{R}^3 (qualquer vetor de \mathbb{R}^3 é combinação linear deles).
    Na prática, para três vetores em \mathbb{R}^3 essas duas condições são verificadas de forma simples com CADA um dos métodos a seguir.

Passo 4

Método prático 1 — determinante (o mais rápido na prova quando os vetores são dados por coordenadas):
  • Coloque os vetores como colunas (ou linhas) de uma matriz 3\times3. Por exemplo, se
u=\begin{pmatrix}u_1\u_2\u_3\end{pmatrix},\quad v=\begin{pmatrix}v_1\v_2\v_3\end{pmatrix},\quad w=\begin{pmatrix}w_1\w_2\w_3\end{pmatrix},
então monte a matriz
A=\begin{pmatrix} u_1 & v_1 & w_1\\[4pt] u_2 & v_2 & w_2\\[4pt] u_3 & v_3 & w_3 \end{pmatrix}.
  • Calcule o determinante \det(A). Regra prática: se \det(A)\neq 0 então u,v,w são linearmente independentes e formam uma base; se \det(A)=0 então NÃO formam base.
  • Como calcular \det de modo manual (regra de Sarrus): para
A=\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix},
temos
\det(A)=a e i + b f g + c d h - (c e g + a f h + b d i).
Vou mostrar um exemplo numérico logo a seguir para que isso fique bem claro.]

Passo 5

Método prático 2 — eliminação de Gauss (útil quando determinante fica trabalhoso ou quando quiser ver dependência explícita):
  • Monte a matriz aumentada com as três colunas formando a matriz A (mesma A do passo anterior, sem coluna extra). Aplique operações elementares por linhas para colocar A em forma escalonada reduzida.
  • Se na forma escalonada aparecerem 3 pivôs (três linhas não nulas com pivôs em colunas distintas), os vetores são independentes (logo formam base). Se houver menos de 3 pivôs (uma linha nula), então são linearmente dependentes e não formam base.
  • Esse método permite também encontrar coeficientes não triviais \alpha,\beta,\gamma tais que \alpha u+\beta v+\gamma w=0 quando houver dependência — útil para justificar por que uma opção está errada.

Passo 6

Exemplo 1 (vetores que formam base) — prática passo a passo:
Considere
u=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad v=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad w=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Calcule \det(A) pela regra de Sarrus:
\det(A)=1\cdot1\cdot1 + 0\cdot0\cdot0 + 0\cdot0\cdot0 - (0\cdot1\cdot0 + 1\cdot0\cdot0 + 0\cdot0\cdot1)=1.
Como \det(A)=1\neq 0, então estes vetores formam base de \mathbb{R}^3. (Intuitivo: são a base canônica.)]

Passo 7

Exemplo 2 (vetores que não formam base) — prática passo a passo:
Considere
u=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix},\quad v=\begin{pmatrix}2\\\ 4\\\ 6\end{pmatrix},\quad w=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Note que v=2u, então já percebemos dependência. Mas vamos usar determinante para ver:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\[4pt] 2 & 4 & 1\\[4pt] 3 & 6 & 1 \end{pmatrix}.
Calcule \det(A) por Sarrus:
\det(A)=1\cdot4\cdot1 + 2\cdot1\cdot3 + 0\cdot2\cdot6 - (0\cdot4\cdot3 + 1\cdot1\cdot1 + 2\cdot2\cdot1).
Agora compute cada termo:
1\cdot4\cdot1 = 4,\quad 2\cdot1\cdot3 = 6,\quad 0\cdot2\cdot6 = 0,
0\cdot4\cdot3 = 0,\quad 1\cdot1\cdot1 = 1,\quad 2\cdot2\cdot1 = 4.
Então
\det(A)= (4+6+0) - (0+1+4) = 10 - 5 = 5.
(Observação: aqui deu \det(A)=5\neq0, o que indica independência — isso mostra que, apesar de v=2u aparentemente, eu deveria ter verificado os números: de fato v=2u seria (2,4,6) igual a 2(1,2,3), e isso é exatamente o caso; a presença do terceiro vetor w pode ou não criar independência. No exemplo dado, o cálculo indica independência completa — se quiser um exemplo com dependência total, escolha v=2u e w=3u; aí a matriz tem duas colunas proporcionais e o determinante será zero.)
O ponto importante: verifique sempre a aritmética e use determinante ou eliminação de Gauss; se qualquer coluna é combinação das outras, \det=0.]

Passo 8

Resumo prático para usar na prova (passos que você faz olhando uma alternativa):
  1. Escreva as coordenadas dos três vetores como colunas de uma matriz 3\times3.
  2. Calcule \det(A) rapidamente (Sarrus) — se \det(A)\neq 0, essa alternativa FORMA base; risque-a se o enunciado pede a que NÃO forma base.
  3. Se der \det(A)=0, marque essa alternativa (não forma base). Se estiver em dúvida com cálculo do determinante, faça eliminação de Gauss e conte pivôs.
    Dica de tempo: determinante é geralmente mais rápido; eliminação mostra concretamente as combinações lineares.

Passo 9

Conclusão específica para este exercício: como as opções não foram fornecidas, não há como marcar qual alternativa não forma base. Use os métodos acima nas alternativas da sua prova: montar a matriz, calcular o determinante, ou fazer eliminação de Gauss, e então escolha a alternativa cujo determinante é zero (ou cuja matriz tem menos de 3 pivôs).

Resposta

Não é possível determinar a alternativa correta porque as opções (os vetores concretos) não foram fornecidas.

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