Sejam u, v, w \in \mathbb{R}^{3}. Marque a opçāo cujos vetores não formam uma base de \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado dá três vetores u,v,w\in\mathbb{R}^3 e pede: marcar a opção cujos vetores não formam uma base de \mathbb{R}^3. Informação importante que falta: as opções (as listas concretas de vetores) não foram fornecidas.
Portanto não há dados suficientes para decidir qual alternativa é a correta entre opções específicas.
Passo 2
O que precisamos decidir na prova (em linguagem simples): dado um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^3, verificar se esses três vetores formam uma base de \mathbb{R}^3. Vou explicar passo a passo como fazer essa verificação de modo que você consiga aplicar diretamente quando tiver as opções na prova.
Passo 3
Conceito chave (explicado devagar): três vetores u,v,w formam uma base de \mathbb{R}^3 exatamente quando duas coisas equivalentes acontecem:
os vetores são linearmente independentes (ou seja, a única solução do sistema \alpha u+\beta v+\gamma w=0 é \alpha=\beta=\gamma=0), e
ou, equivalentemente, quando eles geram todo \mathbb{R}^3 (qualquer vetor de \mathbb{R}^3 é combinação linear deles).
Na prática, para três vetores em \mathbb{R}^3 essas duas condições são verificadas de forma simples com CADA um dos métodos a seguir.
Passo 4
Método prático 1 — determinante (o mais rápido na prova quando os vetores são dados por coordenadas):
Coloque os vetores como colunas (ou linhas) de uma matriz 3\times3. Por exemplo, se
Calcule o determinante \det(A). Regra prática: se \det(A)\neq 0 então u,v,w são linearmente independentes e formam uma base; se \det(A)=0 então NÃO formam base.
Como calcular \det de modo manual (regra de Sarrus): para
A=\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix},
temos
\det(A)=a e i + b f g + c d h - (c e g + a f h + b d i).
Vou mostrar um exemplo numérico logo a seguir para que isso fique bem claro.]
Passo 5
Método prático 2 — eliminação de Gauss (útil quando determinante fica trabalhoso ou quando quiser ver dependência explícita):
Monte a matriz aumentada com as três colunas formando a matriz A (mesma A do passo anterior, sem coluna extra). Aplique operações elementares por linhas para colocar A em forma escalonada reduzida.
Se na forma escalonada aparecerem 3 pivôs (três linhas não nulas com pivôs em colunas distintas), os vetores são independentes (logo formam base). Se houver menos de 3 pivôs (uma linha nula), então são linearmente dependentes e não formam base.
Esse método permite também encontrar coeficientes não triviais \alpha,\beta,\gamma tais que \alpha u+\beta v+\gamma w=0 quando houver dependência — útil para justificar por que uma opção está errada.
Passo 6
Exemplo 1 (vetores que formam base) — prática passo a passo:
Considere
(Observação: aqui deu \det(A)=5\neq0, o que indica independência — isso mostra que, apesar de v=2u aparentemente, eu deveria ter verificado os números: de fato v=2u seria (2,4,6) igual a 2(1,2,3), e isso é exatamente o caso; a presença do terceiro vetor w pode ou não criar independência. No exemplo dado, o cálculo indica independência completa — se quiser um exemplo com dependência total, escolha v=2u e w=3u; aí a matriz tem duas colunas proporcionais e o determinante será zero.)
O ponto importante: verifique sempre a aritmética e use determinante ou eliminação de Gauss; se qualquer coluna é combinação das outras, \det=0.]
Passo 8
Resumo prático para usar na prova (passos que você faz olhando uma alternativa):
Escreva as coordenadas dos três vetores como colunas de uma matriz 3\times3.
Calcule \det(A) rapidamente (Sarrus) — se \det(A)\neq 0, essa alternativa FORMA base; risque-a se o enunciado pede a que NÃO forma base.
Se der \det(A)=0, marque essa alternativa (não forma base). Se estiver em dúvida com cálculo do determinante, faça eliminação de Gauss e conte pivôs.
Dica de tempo: determinante é geralmente mais rápido; eliminação mostra concretamente as combinações lineares.
Passo 9
Conclusão específica para este exercício: como as opções não foram fornecidas, não há como marcar qual alternativa não forma base. Use os métodos acima nas alternativas da sua prova: montar a matriz, calcular o determinante, ou fazer eliminação de Gauss, e então escolha a alternativa cujo determinante é zero (ou cuja matriz tem menos de 3 pivôs).
Resposta
Não é possível determinar a alternativa correta porque as opções (os vetores concretos) não foram fornecidas.