Sejam
v_{1}=(1,1,1,0) \quad \text { e } \quad v_{2}=(1,1,2,1) .
(a) Determine as condições sobre a, b, c e d para que o vetor w=(a, b, c, d) seja simultaneamente ortogonal a v_{1} e v_{2}.
(b) Seja W o subespaço de \mathbb{R}^{4} dos vetores simultaneamente ortogonais a v_{1} e a v_{2}. Encontre uma base para W e sua dimensão.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v_{1}=(1,1,1,0),\qquad v_{2}=(1,1,2,1)
e pede duas coisas:
  1. (a) Quais são as condições sobre a,b,c,d para que o vetor w=(a,b,c,d) seja simultaneamente ortogonal a v_{1} e a v_{2}.
  2. (b) Definindo W como o subespaço de \mathbb{R}^{4} formado pelos vetores que são ortogonais a ambos v_{1} e v_{2}, encontrar uma base de W e a dimensão de W.
As informações relevantes dadas são apenas os componentes de v_{1} e v_{2} e a forma geral do vetor w.

Passo 2

O que significa “ortogonal” aqui? Dois vetores em \mathbb{R}^{4} são ortogonais se o produto interno (produto escalar) entre eles é zero. Para vetores x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) e y=(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}) definimos o produto interno por
\langle x,y\rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4}.
Aqui cada x_{i} e y_{i} é a i-ésima componente dos vetores. Então “ortogonal” quer dizer que esse somatório dá zero.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso: w=(a,b,c,d) deve satisfazer
\langle v_{1},w\rangle = 0,\qquad \langle v_{2},w\rangle = 0.
Calculemos cada produto escalar explicitamente. Para v_{1}=(1,1,1,0) temos
\langle v_{1},w\rangle = 1\cdot a + 1\cdot b + 1\cdot c + 0\cdot d = a+b+c.
Para v_{2}=(1,1,2,1) temos
\langle v_{2},w\rangle = 1\cdot a + 1\cdot b + 2\cdot c + 1\cdot d = a+b+2c+d.
Portanto as condições são as equações
a+b+c=0
e
a+b+2c+d=0.

Passo 4

Agora vamos resolver esse sistema linear para expressar as condições de forma mais explícita. Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos
(a+b+2c+d)-(a+b+c)=0-0 \quad\Longrightarrow\quad c+d=0.
Logo
d=-c.
Substitindo d=-c na primeira equação (ou simplesmente usando a primeira) temos
a+b+c=0\quad\Longrightarrow\quad a+b=-c.
Assim as duas condições equivalem a
d=-c\quad\text{e}\quad a+b=-c.

Passo 5

Para descrever todos os vetores w que satisfazem essas condições, escolhemos parâmetros livres. Como há 2 equações lineares independentes em 4 incógnitas, esperamos dois graus de liberdade (dimensão do espaço solução igual a 2). Tome c=s e b=t como parâmetros livres, com s,t\in\mathbb{R}. Então
d=-c=-s,\qquad a=-c-b=-s-t.
Assim o vetor genérico w é
w=(a,b,c,d)=(-s-t,\; t,\; s,\; -s).
Reescrevendo como combinação linear dos parâmetros s e t:
w = t\cdot(-1,1,0,0) + s\cdot(-1,0,1,-1).

Passo 6

Do passo anterior vemos que todo vetor em W\) é combinação linear dos vetores \[u_{1}=(-1,1,0,0)\quad\text{e}\quad u_{2}=(-1,0,1,-1).
Precisamos verificar que esses dois vetores são linearmente independentes. Suponha \alpha u_{1}+\beta u_{2}=0. Isso dá, componente a componente:
\begin{cases} -\alpha-\beta=0,\\\ \alpha+0\beta=0,\\\\ 0\alpha+\beta=0,\\\\ 0\alpha-\beta=0. \end{cases}
Da segunda equação \alpha=0\]. Da terceira \(\beta=0. Logo a única combinação que dá zero é \alpha=\beta=0, o que prova independência linear. Portanto \{u_{1},u_{2}\} é uma base de W.

Passo 7

Concluímos sobre a dimensão: como a base tem dois vetores independentes, a dimensão de W é 2.

Resposta

As condições são \;a+b+c=0\; e \;a+b+2c+d=0, equivalentes a \;d=-c\; e \;a+b=-c.\nA base de W pode ser \{(-1,1,0,0),\;(-1,0,1,-1)\} e \dim W=2.

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