v_{1}=(1,1,1,0) \quad \text { e } \quad v_{2}=(1,1,2,1) .
(a) Determine as condições sobre a, b, c e d para que o vetor w=(a, b, c, d) seja simultaneamente ortogonal a v_{1} e v_{2}.
(b) Seja W o subespaço de \mathbb{R}^{4} dos vetores simultaneamente ortogonais a v_{1} e a v_{2}. Encontre uma base para W e sua dimensão.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
v_{1}=(1,1,1,0),\qquad v_{2}=(1,1,2,1)
e pede duas coisas:
(a) Quais são as condições sobre a,b,c,d para que o vetor w=(a,b,c,d) seja simultaneamente ortogonal a v_{1} e a v_{2}.
(b) Definindo W como o subespaço de \mathbb{R}^{4} formado pelos vetores que são ortogonais a ambos v_{1} e v_{2}, encontrar uma base de W e a dimensão de W.
As informações relevantes dadas são apenas os componentes de v_{1} e v_{2} e a forma geral do vetor w.
Passo 2
O que significa “ortogonal” aqui? Dois vetores em \mathbb{R}^{4} são ortogonais se o produto interno (produto escalar) entre eles é zero. Para vetores x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) e y=(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}) definimos o produto interno por
Substitindo d=-c na primeira equação (ou simplesmente usando a primeira) temos
a+b+c=0\quad\Longrightarrow\quad a+b=-c.
Assim as duas condições equivalem a
d=-c\quad\text{e}\quad a+b=-c.
Passo 5
Para descrever todos os vetores w que satisfazem essas condições, escolhemos parâmetros livres. Como há 2 equações lineares independentes em 4 incógnitas, esperamos dois graus de liberdade (dimensão do espaço solução igual a 2). Tome c=s e b=t como parâmetros livres, com s,t\in\mathbb{R}. Então
d=-c=-s,\qquad a=-c-b=-s-t.
Assim o vetor genérico w é
w=(a,b,c,d)=(-s-t,\; t,\; s,\; -s).
Reescrevendo como combinação linear dos parâmetros s e t:
w = t\cdot(-1,1,0,0) + s\cdot(-1,0,1,-1).
Passo 6
Do passo anterior vemos que todo vetor em W\) é combinação linear dos vetores
\[u_{1}=(-1,1,0,0)\quad\text{e}\quad u_{2}=(-1,0,1,-1).
Precisamos verificar que esses dois vetores são linearmente independentes. Suponha \alpha u_{1}+\beta u_{2}=0. Isso dá, componente a componente:
Da segunda equação \alpha=0\]. Da terceira \(\beta=0. Logo a única combinação que dá zero é \alpha=\beta=0, o que prova independência linear. Portanto \{u_{1},u_{2}\} é uma base de W.
Passo 7
Concluímos sobre a dimensão: como a base tem dois vetores independentes, a dimensão de W é 2.
Resposta
As condições são \;a+b+c=0\; e \;a+b+2c+d=0, equivalentes a \;d=-c\; e \;a+b=-c.\nA base de W pode ser \{(-1,1,0,0),\;(-1,0,1,-1)\} e \dim W=2.