Sejam V=R^{4} e W=\{(1,1,1,1),(1,2,3,2),(2,5,6,4),(2,6,8,5)\}
a) Determine a dimensão de W.
b) Caso a \operatorname{dim} \mathrm{W}<4, complete uma base de W para uma base do R^{4}
c) Faça uma análise geral dos vetores.

Passo 1

O enunciado fornece o espaço V=\mathbb{R}^{4} e o conjunto de vetores
v_{1}=(1,1,1,1),\qquad v_{2}=(1,2,3,2),\qquad v_{3}=(2,5,6,4),\qquad v_{4}=(2,6,8,5).
As perguntas são:
(a) Determinar a dimensão de W=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\}.
(b) Caso \dim W<4, completar uma base de W para uma base de \mathbb{R}^{4}.
(c) Fazer uma análise geral dos vetores (dependências lineares, interpretação geométrica, etc.).

Passo 2

Estratégia e conceito que vamos usar (passo-a-passo bem didático).
  • Para descobrir \dim W podemos montar uma matriz cujas linhas (ou colunas) são os vetores dados e aplicar eliminação de Gauss para encontrar o posto (rank). O posto é o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes e coincide com a dimensão do subespaço gerado pelos vetores.
  • Cada operação elementar de linha que faremos não altera quais combinações lineares são possíveis: só transforma a matriz para ficar mais fácil de ver pivôs (linhas não-nulas).
  • Vou montar a matriz com as linhas iguais a v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}:
A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 3 & 2\\[4pt] 2 & 5 & 6 & 4\\[4pt] 2 & 6 & 8 & 5 \end{pmatrix}.
O número de linhas não-nulas na forma escalonada reduzida de A dará \dim W.]

Passo 3

Aplicando eliminação de Gauss (vou explicar cada operação).
Partimos de
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 3 & 2\\[4pt] 2 & 5 & 6 & 4\\[4pt] 2 & 6 & 8 & 5 \end{pmatrix}.
Usamos a primeira linha como pivô e zeramos abaixo:
  • R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}:
R_{2}=(1,2,3,2)-(1,1,1,1)=(0,1,2,1).
  • R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{1}:
R_{3}=(2,5,6,4)-2(1,1,1,1)=(0,3,4,2).
  • R_{4}\leftarrow R_{4}-2R_{1}:
R_{4}=(2,6,8,5)-2(1,1,1,1)=(0,4,6,3).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 3 & 4 & 2\\[4pt] 0 & 4 & 6 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Continuando a eliminação com o pivô na segunda linha (segunda coluna):
  • R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{2}:
R_{3}=(0,3,4,2)-3(0,1,2,1)=(0,0,4-6,2-3)=(0,0,-2,-1).
  • R_{4}\leftarrow R_{4}-4R_{2}:
R_{4}=(0,4,6,3)-4(0,1,2,1)=(0,0,6-8,3-4)=(0,0,-2,-1).
A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}.
Agora usamos o pivô na terceira linha e zeramos a quarta linha:
  • R_{4}\leftarrow R_{4}-R_{3}=(0,0,0,0).
A forma escalonada final é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Há exatamente 3 linhas não-nulas (3 pivôs), logo o posto de A é 3.]

Passo 5

Concluir a letra (a) com explicação didática.
  • O posto de A é 3, portanto \dim W=3.
    Interpretando: dos quatro vetores, apenas três são linearmente independentes; o quarto é combinação linear dos três primeiros.

Passo 6

Encontrar uma base de W\) e demonstrar a dependência encontrada. - Uma escolha natural de base é pegar os vetores correspondentes às linhas pivôs antes de zerar (ou seja, \(v_{1},v_{2},v_{3}\)). Assim \[\mathcal{B}_{W}=\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=\{(1,1,1,1),(1,2,3,2),(2,5,6,4)\}.
  • Vamos agora encontrar explicitamente a relação linear que expressa v_{4} em função de v_{1},v_{2},v_{3}. Procuramos x,y,z tais que
v_{4}=x v_{1}+y v_{2}+z v_{3}.
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} 2 = x + y + 2z,\\[4pt] 6 = x + 2y + 5z,\\[4pt] 8 = x + 3y + 6z,\\[4pt] 5 = x + 2y + 4z. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda: 4 = y + 3z\] (logo \(y=4-3z).
Subtraindo a segunda da terceira: 2 = y + z.
Daí y+z=2. Substituindo y=4-3z obtém-se 4-3z+z=2\Rightarrow -2z=-2\Rightarrow z=1. Então y=1. Pela primeira equação 2=x+y+2z\Rightarrow 2=x+1+2\Rightarrow x=-1.
  • Conclusão:
v_{4}=-1\cdot v_{1}+1\cdot v_{2}+1\cdot v_{3},
ou seja
v_{4}=-v_{1}+v_{2}+v_{3}.
Isso confirma que v_{4} é dependente das primeiras três.]

Passo 7

Completar a base de W para uma base de \mathbb{R}^{4} (letra (b)).
  • Como \dim W=3<4, precisamos de um vetor u\in\mathbb{R}^{4} que não esteja em W. Uma escolha simples é e_{1}=(1,0,0,0). Para garantir que e_{1}\notin W podemos tentar resolver e_{1}=xv_{1}+yv_{2}+zv_{3} e verificar que o sistema é inconsistente (fizemos essa tentativa e a quarta equação não é satisfeita), logo e_{1}\notin W.
  • Portanto uma base de \mathbb{R}^{4} que completa \mathcal{B}_{W} é
\mathcal{B}_{\mathbb{R}^{4}}=\{v_{1},v_{2},v_{3},e_{1}\}.
(qualquer vetor fora de W serviria; escolhi e_{1} por simplicidade.)

Passo 8

Análise geral dos vetores (letra (c)) — interpretação e dicas para prova.
  • Dimensão e espaço gerado: W é um subespaço de dimensão 3 de \mathbb{R}^{4}. Geometricamente, é um hiperplano tridimensional (uma “3‑plano”) em \mathbb{R}^{4}.
  • Independência e dependência: v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes e formam uma base de W. v_{4} é combinação linear das primeiras três, com relação v_{4}=-v_{1}+v_{2}+v_{3}.
  • Como verificar em prova: monte a matriz com os vetores como linhas (ou colunas) e aplique eliminação de Gauss; o número de pivôs é a dimensão do espaço gerado. Para expressar um vetor dependente como combinação dos outros, resolva o sistema linear coordenada a coordenada (como fiz para v_{4}).
  • Observação prática: ao completar para uma base de \mathbb{R}^{4}, qualquer vetor que não possa ser escrito como combinação linear dos três escolhidos serve; os vetores da base canônica \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\} são bons candidatos para testar rapidamente.

Resposta

\dim W=3
Uma base de W é \{(1,1,1,1),(1,2,3,2),(2,5,6,4)\} e uma base de \mathbb{R}^{4} que completa essa base é \{(1,1,1,1),(1,2,3,2),(2,5,6,4),(1,0,0,0)\}
Análise: v_{4}=-v_{1}+v_{2}+v_{3}; W é um subespaço de dimensão 3 (os três primeiros vetores são independentes, o quarto é dependente).

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